拾珍丨王南：规矩方圆 浮图万千——中国古代佛塔构图比例探析
佛塔是中国古建筑中造型最为丰富多样的建筑类型之一。清华大学建筑学院王南老师撰写《规矩方圆 浮图万千——中国古代佛塔构图比例探析》一文，通过对 6大类型共计 41 座佛塔实例进行几何作图与实测数据分析，发现并指出中国历代佛塔的平、立、剖面设计中广泛运用了基于方圆作图的√2构图比例，而佛塔各项基本长度间则大多存在清晰而简洁的比例关系。同时通过分析 9 座日本楼阁式木塔的构图比例，证明了√2比例以及佛塔总高与首层通面阔之间的比例关系，不仅是中国古代佛塔的基本构图手法，更影响传播到日本，成为日本楼阁式木塔的普遍构图规律。这一研究进一步加深了我们对中国古代建筑设计中的方圆作图比例所反映的特有的“天圆地方”的宇宙观念以及中国古人追求天、地、人和谐的文化理念的认识。
规矩方圆 浮图万千
中国古代佛塔构图比例探析
王 南
引 言
佛塔是中国古建筑中造型最为丰富多样的建筑类型之一，常常作为中国古代城市、村镇或佛寺的标志性建筑出现。梁思成曾赞誉道：“在表现并点缀中国风景的重要建筑中，塔的形象之突出是莫与伦比的……”依外观造型，中国古代佛塔可大致分为楼阁式塔、密檐式塔、单层塔、覆钵式塔（即喇嘛塔）、金刚宝座塔、楼阁与覆钵混合式塔等6大类（图1）。
图1 梁思成《图像中国建筑史》中的“历代佛塔型类演变图”
佛塔除了其最基本的宗教功能之外，同时亦是具有强烈的标志性以及鲜明的象征含义的造型艺术品，对其构图比例的研究因此显得尤为重要。本文在前人研究的基础上，通过对以上所述6个类型、41座佛塔实例（外加9例日本楼阁式木塔，见附录）进行构图比例分析，发现并指出普遍存在于中国古代佛塔（包括日本楼阁式木塔）平、立、剖面设计中的基于方圆作图的构图比例——尤其是√2比例；除此之外，还总结了佛塔总高与首层塔身周长、通面阔（或总宽、直径）、边长之间常见的清晰而简洁的比例关系。
如果将中国古代佛塔中广泛运用的方圆作图比例与北宋《营造法式》第一幅插图即“圆方方圆图”相互参照，结合距今五千年的辽宁牛河梁红山文化圜丘遗址中已经包含精确的方圆作图比例这一事实，我们将会对中国古代建筑设计中的方圆作图比例及其所反映的中国古人特有的“天圆地方”的宇宙观念以及追求天、地、人和谐的文化理念有进一步的深刻认识。
1 中国古代佛塔构图比例的主要研究成果
对中国古代佛塔构图比例之研究始于中国营造学社的先辈们，特别是梁思成、刘敦桢、陈明达和龙庆忠等学者。
梁思成在《山西应县佛宫寺辽释迦木塔》（约1935年）、《浙江杭县闸口白塔及灵隐寺双石塔》（约1936年）等调查报告中，尤为注重测量、计算木构或石仿木构佛塔中各类大木构件尺寸的材、分°值，并且将实测结果与《营造法式》“大木作制度”的相关规定进行比较分析，对研究中国古代木结构建筑的“材分°制”起到了重要的作用；此外，报告中也涉及一些对其他构件的比例分析，如柱高与柱径之比，飞子长与椽长之比等。在《图像中国建筑史》（1946年完稿）一书中，梁思成开始注意密檐式砖石塔的比例问题，并指出密檐式塔的“各层檐总高度常为塔身的两倍”。
刘敦桢是中国古代佛塔构图比例研究的重要开拓者之一，尤其是其《河北定县开元寺塔》（约1936年）一文，首次援引《营造法原》等文献，讨论塔高与塔围（包括塔台基周长、首层塔身周长）的比例关系。他指出：《营造法原》称“塔盘外阶沿口周围总数，即塔葫芦尖至地高低”，即指塔高等于阶台周长；而河北易县宋千佛塔有明正统十四年《重修舍利塔记》称“塔高一百又十尺，围以称之”，《图书集成》神异典记述山西应县木塔亦称“塔高三十六丈，周围如之”，都是指塔高等于第一层塔身周长。而经过测量，北宋开元寺料敌塔的塔高与第一层塔身周长正好相等，符合文献中塔高等于塔围（第一层塔身周长）的记载。当然，出于严谨考虑，刘敦桢称“不过此塔的宝珠，曾经明嘉靖间一度重修，是否和原来的高度相等，实属疑问。故此问题决非今日根据少数之例所能解决的。”此文可谓是中国古塔构图比例研究的一篇开创性文献。
陈明达在上述研究的基础上，对应县木塔的构图比例进行了从整体到局部、全面而深入的研究，开创了一种中国古代木结构建筑设计方法研究的重要范式。他在《应县木塔》（1966年）一书中指出，应县木塔第三层每面面阔8.83米（后来傅熹年指出正好合辽代3丈），为木塔设计的重要模数，全塔许多重要尺寸由此确定；尤其塔之总高（67.31米）约为8.83米这一模数的7.625倍，同时也接近第三层平面（边长8.83米的八角形）的内切圆周长——这一结果与《营造法原》中提及的塔高与塔围的比例关系接近（图2）。
图2 陈明达的应县木塔立面构图分析
龙庆忠在《中国塔之数理设计手法及建筑理论》（1990年）一文中，对一批中、日古代佛塔（包括楼阁式塔14例、密檐式塔9例）的比例关系进行了详细分析，尤其是根据《营造法原》（第16章“杂俎”）记载的“测塔高低：可量外塔盘外阶沿之周围总数，即塔总高数（自葫芦尖至地坪）”，对一系列佛塔的总高与地面周长之比例进行讨论（这一点可以看作对刘敦桢的定县料敌塔、陈明达的应县木塔比例研究的延续），并发现若干方塔总高等于4倍底层边长、八角塔总高等于8倍底层边长的实例。龙庆忠还进一步探讨了佛塔比例关系的文化内涵，认为塔高、塔围可与天高、地载相对应，并且进一步象征天圆与地方：“本文首先论塔高与其地面上周长的比例，然后又将塔高换成天高，将塔的地面上的周长换成地载，再后把天之所覆换成天圆，地之所载换成地方。”
我们虽然不能确定古人在进行佛塔设计时，令塔高与塔围成一定比例关系是否真的具有“天圆地方”之寓意，但下文将要揭示的大量佛塔中方圆作图比例的运用，却似乎可与此说相互呼应。
与龙庆忠的分析类似，王寒枫的《泉州东西塔》（1992年）一书亦指出泉州开元寺东、西塔总高与一层周长实测数据十分接近。
傅熹年在前人研究之上更进一步，在其《中国古代城市规划、建筑群布局及建筑设计方法研究》（2001年）一书中，对南北朝、唐、宋、辽时期的15例楼阁式塔和9例密檐式塔进行了模数与比例分析，并绘制了一批佛塔的立、剖面分析图。傅熹年在陈明达应县木塔研究的基础上，进一步指出楼阁式塔设计的基本方法，即以一层柱高和中间层每面面阔为主要模数——“在唐、宋、辽代建塔使用一层柱高（H1）和塔中间一层的一面面阔（A）为模数，从发展上看，在盛唐以前只以H1为模数，到中唐时才出现以A为模数和H1与A兼用的情况，并沿用到宋和辽代”；“以塔中间一层每面之宽为塔在高度和宽度上的模数：塔高（底层柱脚至塔顶檐口）为中间一层每面之宽的倍数；塔每层面阔以中间一层为基准，上下各层递减或递加一定尺寸”。傅熹年认为中间层之面宽近于取底层面宽与顶层面宽之中间值，较能正确反映塔身高宽比的真实情况（图3）。在《日本飞鸟、奈良时期建筑中所反映出的中国南北朝、隋、唐建筑特点》（1992年）一文中，傅熹年则分析了日本飞鸟、奈良时期木构佛塔中的以材、分°为模数或分模数，以首层柱高或中间层通面阔为扩大模数等设计手法；并且指出塔高与一层柱高（或副阶柱高）H1的模数关系，即通常五重塔高7H1，三重塔高5H1；并且该文认为以上设计手法渊源于中国南北朝、隋、唐时期的佛塔。需要指出的是，上述研究中对于“塔高”的界定是指台明至顶层檐口的距离（有时至塔刹底部，包含顶层屋顶），尚未能涉及包含台基、塔刹（或屋顶加塔刹）在内的佛塔整体造型比例关系，而佛塔的整体造型比例正是本文关注的重点。
图3 傅熹年的辽庆州白塔立面构图分析
综上可知，前人的研究已逐步揭示出：中国古代楼阁式塔和密檐式塔皆有着较为成熟的构图方法，尤其是以首层柱高、中间层边长（即每面面阔）为模数控制塔身各主要尺寸；此外，塔高与塔围（首层塔身周长或台基周长）之间很可能有着一些常用的比例关系。
2 方圆作图比例
在前人大量富于启发性的研究基础上，本文对佛塔构图比例的探析试图再进一步：一方面，将研究对象拓展到几乎所有主要类型的佛塔（包括6个类型、总计41个实例）；更重要的是，尤其关注佛塔总高与首层塔身通面阔（或总宽、直径）、边长之间的比例关系，以及佛塔总高与局部高度之间的比例关系,并且由此发现中国古代佛塔的总高、顶层檐高、首层檐高，首层塔身周长、通面阔（或总宽、直径）与边长，阶基周长、通面阔（或总宽、直径）、边长等尺寸，及其相互之间的比例关系，皆是佛塔设计构图中的重要因素。而在佛塔设计所蕴含的多种构图比例之中，尤以基于方圆作图的比例——√2比例，运用最为广泛，几乎遍及各种类型、各个时代的典型实例之中。
√2比例是正方形和圆形之间最基本的比例关系之一，也是运用方圆作图可以轻易实现的一种构图比例——正方形的边长与其外接圆直径（即该正方形对角线长）之比即为1:√2（图4）。√2是中国古代都城、建筑群和单体建筑中运用得最为广泛的构图比例之一。根据笔者研究，√2比例广泛存在于都城规划与宫殿、坛庙、墓葬、寺庙、民居、祠堂、园林等各类建筑群布局中，以及各类单体建筑设计中，包括殿堂、厅堂、门屋、楼阁、城楼、佛塔、经幢、牌楼、牌坊、棂星门、亭榭、墓祠、墓阙、墓表、祭坛、石窟、无梁殿、铜殿、石碑、华表等，笔者另有专著对其进行深入论述。
图4 方圆作图基本比例——√2
需要指出的是，今天只要具备中学数学知识的人即知，√2为无理数（即无限不循环小数）。但中国古人并不一定认识“无理数”这一概念，所以在运用这些方圆作图产生的比例时，常常是以整数比近似值取代之——最典型者，即√2可以用“方五斜七”或者“方七斜十”这类广为流传的口诀来表示，意思是正方形边长为5，则对角线长为7；边长为7，则对角线长为10。有趣的是，7:5=1.4，10:7≈1.4286，二者的平均值为1.4143，与√2（≈1.4142）极为接近——因此，古人实际上是以靠近√2上下的两组简单整数比来取而代之（图5）。
图5 方圆作图基本比例√2的近似作图——方五斜七与方七斜十
较早提出中国古代建筑设计中所蕴含的√2比例的学者是王贵祥，他在《√2与唐宋建筑柱檐关系》（1984）、《唐宋单檐木构建筑平面与立面比例规律的探讨》（1989）、《唐宋单檐木构建筑比例探析》（1998）等论文中，探讨了中国唐宋木构建筑中蕴含的√2构图比例，包括檐高与柱高、通面阔与通进深、明间面阔与次间面阔之√2比例关系等（图6）；并且认为这一构图比例有可能广泛运用于唐宋单檐木构建筑以外的更多建筑类型、更长历史时期以及建筑群体关系和庭院尺度之中，有待深入探讨。特别是在《唐宋单檐木构建筑比例探析》一文中，王贵祥更进一步将√2比例阐释为正方形边长与其外接圆直径之比，于是与中国古人“天圆地方”的观念联系起来，认为“天圆地方又恰恰浓缩了古代中国人‘天覆地载’的朴质的宇宙观……唐、宋建筑单檐建筑中较多存在的√2：1的比例关系，很可能就暗含了檐部象征天宇、立柱象征大地的内涵。”
图6 王贵祥的唐宋建筑檐高与柱高比例分析图
之后，张十庆对北宋《营造法式》的“材分°制”和清工部《工程做法》的“斗口制”中所蕴含的√2比例进行了进一步探讨。他指出《营造法式》规定的足材（21分°）与单材（15分°）之比为7:5（图7），约为√2（所谓“方五斜七”）；散斗立面长（14分°）与高（10分°）之比为7:5，约为√2；清工部《工程做法》单材高（14分°）与斗口（10分°）之比为7:5，约为√2。
图7 张十庆的《营造法式》足材与单材比例分析图
通过王贵祥、张十庆等学者的研究，√2比例在中国古建筑大木构架中得到较为广泛运用的事实已经逐渐被揭示出来。
值得注意的是，王贵祥的研究中援引了日本学者关于√2比例的讨论，如小野胜年在1964年与中国文物界学者的交流会中就曾指出：“里尺，就是指日本木匠所用的曲尺。这个名字来自它的刻度和普通尺的刻度有√2的关系”；“至于（法隆寺）各堂的大小，也有一定的比例的说法。例如，塔的基坛的对角线的长度等于金堂的进深；把金堂的进深或对角线的长度当做讲堂的宽度或进深的长度等。”张十庆进一步指出日本对“方五斜七”（约为1：√2）这一惯常比例的运用：“同属东亚文化圈的日本，自古以来也注重和习用这一比例关系，并视其为日本的传统比例形式，称之为‘大和比’。现代日本学者更有称其为白银比，与西方黄金比并提”。张十庆还列举了法隆寺中门面阔（34尺）与进深（24尺）之比约为√2，法隆寺五重塔底层明间面阔与次间面阔之比为10:7，约为√2（所谓“方七斜十”）等实例。本文“附录”对11座典型的日本木构佛塔进行了构图比例分析，同样发现大量运用√2比例的手法。
本文对各类佛塔构图比例的研究，采取对实测图进行几何作图与实测数据分析相结合的方法（很大程度上是对陈明达、傅熹年、王贵祥等学者研究方法的延续）。文中选取的案例，绝大部分都同时有实测图与实测数据可供参照，而对实测数据的分析计算，全都标明了与理论值（如√2、7:5、10:7等）的吻合度（百分比），并且本文所收录的实例，实测数据分析结果与理论值的吻合度绝大部分均高于98%，且大部分超过99%——将实测数据分析与几何作图结果互相参照，对于分析所得结论能有既理性又直观的把握。
中国古代佛塔因其外观造型的多样性，构图手法也随之变化多端，即便同样是运用基于方圆作图的√2比例，手法亦不拘一格。而除去方圆作图比例之外，还有不少常用的其他构图比例。以下将分门别类进行实例分析，依次为楼阁式塔13例、密檐式塔10例、单层塔4例、覆钵式塔（即喇嘛塔）11例、金刚宝座塔2例、楼阁与覆钵混合式塔1例。
一 楼阁式塔
佛塔之天竺（印度）原型称“窣堵坡”（即梵文stupa的音译，为玄奘所译），为建于台基上的半球形圆坟，因形如一只倒扣的碗，因此中国古代亦称之为“覆钵”，其上有方形宝匣（乃奉藏舍利之所在），再上树立带数层圆盘状伞盖（亦称相轮）的刹杆，典型实例如桑奇大塔。窣堵坡于汉代随佛教传入中国，逐渐与中国传统建筑融合：《后汉书·陶谦传》中记载的东汉初平年间（190—193）丹阳人笮融所建之塔“上累金盘，下为重楼”，即将窣堵坡原型缩小，置于方形的多层楼阁之上，遂形成中国特有的楼阁式塔（如果将缩小的窣堵坡置于单层建筑上则形成下文所要讨论的单层塔）。多层楼阁屋顶上方的窣堵坡，演化成为佛塔的塔刹，其中窣堵坡的方台变为须弥座，半球形圆坟变为覆钵，刹杆上的多层圆盘称相轮。
塔刹（天竺原型）与重楼（中国原型）形成全新的楼阁式塔之整体造型，并且在平、立、剖面设计中皆有十分精妙的构图比例。以下分别探讨木构、石枋木构、砖仿木构和砖木混合结构的各类楼阁式塔实例。
（一）木塔
1 山西应县佛宫寺释迦塔（辽清宁二年，1056年）
山西应县佛宫寺释迦塔，即著名的应县木塔，是中国现存最古老、规模最大的木塔，同时也是全世界最高大的木塔，价值无与伦比。
木塔平面为八角形，每面三开间，高五层，首层带副阶一周，故外观共出檐六重。首层以上，每层皆有平坐、屋身及屋檐，且逐层缩进，顶层覆以八角攒尖屋顶，上立铁刹。全塔立于双重石基之上。平面设内、外柱各一周，外柱二十四根，内柱八根。木塔外观五层，实际内部每两层之间有一暗层，位于平坐和腰檐之后，故实为九层。
通过对陈明达《应县木塔》一书中实测图与清华大学建筑学院中国营造学社纪念馆藏营造学社实测图进行几何作图，以及实测数据分析，可得如下结论。
（1）正立面、剖面
总高（66.67米）：首层通面阔（23.36米）=2.854≈20:7（吻合度99.9%）；2.854≈2√2（吻合度为99.1%）。——由此可知应县木塔正立面（剖面）高宽比约为2√2（以“方七斜十”代替1:√2），从下文分析可知这是中国古代佛塔中较常见的构图比例。
总高（66.67米）：顶层檐柱柱头以下高（46.83米）=1.424≈10:7（吻合度99.7%）；1.424≈√2（吻合度为99.3%）。
顶层檐柱柱头以下高（46.83米）：首层通面阔（23.36米）=2。
综上可知，应县木塔首层通面阔：顶层檐柱柱头以下高：总高=1:2:2√2。
如果以总高的1/20即3.33米为正立面模数网格，则：总高20格。正立面由下而上，副阶檐口高3格，二层平坐柱头高5格，二层檐口高7格（等于首层通面阔），顶层檐柱柱头高14格（图8）。
图8 应县木塔立剖面分析图
（2）平面
首层内筒内径（10.25米）：外筒内径（20.76米）：下层方形台基边长（平均值40.65米）=1：2.03：3.97≈1：2：4。如果取辽代1尺=29.4厘米，三者分别合3.49丈，约3.5丈（吻合度99.7%）；7.06丈，约7丈（吻合度99.2%）；13.83丈，约14丈（98.9%）（图9）。
图9 应县木塔平面分析图（一）
上层八角形台基总宽35.47米，合12.06丈，约12丈（吻合度99.5%），边长合5丈；首层通面阔23.36米，合7.95丈，约8丈（吻合度99.4%）。上层八角形台基总宽（35.47米）：首层通面阔（23.36米）=1.518≈3：2（吻合度98.8%）（图10）。
图10 应县木塔平面分析图（二）
综上可知：木塔首层平面（不含副阶）八角形内径（即通面阔）8丈，上层八角形台基内径12丈（边长5丈）；内筒内径3.5丈，外筒内径7丈，下层方形台基边长14丈——首层平面有着十分清晰的比例关系。
（3）首层、二层剖面
首层层高+二层层高=14.65+8.84=23.49米，首层通面阔23.36米，二者基本相等（吻合度99.4%），皆为8丈左右。
内槽通面阔（12.94米，合4.4丈）：外槽通面阔（23.36米，合8丈）=0.554≈5：9（吻合度99.7%）。
内槽通面阔（12.94米）：二层平坐柱头距台基地面（12.93米）≈1（吻合度接近100%）。
内槽通面阔（12.94米）：内柱高（9.05米）=1.43≈10:7（吻合度99.9%）；1.43≈√2（吻合度99%）——可知首层佛像净高与内柱高基本相等（图11）。
图11 应县木塔首层、二层剖面分析图
（4）三层剖面
木塔三层是除了首层之外比例关系尤为清晰的一层：
外槽边长8.83米，合3丈；
外槽边长（8.83米）：层高（8.85米）=0.998≈1（吻合度99.8%）；
外槽通面阔（21.3米）：内槽通面阔（12.42米）=1.715≈（1+√2）：√2（吻合度99.5%）；
内槽通面阔（12.42米）：层高（8.85米）=1.403≈7:5（吻合度99.8%）；1.403≈√2（吻合度99.2%）（图12）。
图12 应县木塔三层剖面分析图
（5）塔刹
塔刹高（11.77米）：首层通面阔（23.36米）=0.504≈1：2（吻合度99.2%）。
（6）全塔各部分高度
基座4.4米，合1.497丈，约1.5丈（吻合度99.8%）；
首层层高14.65米，合4.98丈，约5丈（吻合度99.6%）；
二层层高8.84米，合3丈；
三层层高8.85米，合3.01丈，约3丈（吻合度99.7%）；
四层层高7.83米，合2.66丈；
五层层高10.01米，合3.4丈；
塔刹高11.77米，合4丈。
综合以上（1）~（6）所述：应县木塔是在立面、剖面乃至首层主佛像设计中综合运用√2构图比例的杰作。木塔设计的关键是令总高与首层通面阔（不含副阶）之比为20：7（约2√2）。此外，首层通面阔（8丈）等于首层地面至三层（即中间层）地面的距离（5丈+3丈）；等于顶层檐柱柱头高（16丈）的二分之一；塔刹高（4丈）则等于首层通面阔的一半；上层八角形台基通面阔（12丈）是首层通面阔（8丈）的1.5倍，且八角形台基边长（5丈）等于首层层高——以上皆是简洁而完美的构图比例设计。因此，首层通面阔8丈为应县木塔设计中一个极为重要的模数——这一规律还将在下文大量其他佛塔中见到。
除了整体高宽比为2√2之外，木塔局部还有大量经典的比例关系：如首层内槽通面阔（等于二层平坐柱头至首层地面距离）与内柱高之比为√2；首层外槽通面阔（8丈）与内槽通面阔（4.4丈）之比为9：5；首层平面内筒内径：外筒内径：方形大台基边长为1：2：4——足见木塔首层的平、剖面设计是全塔设计的关键内容，决定了木塔的很多基本比例关系。
值得一提的是，陈明达、傅熹年曾经先后指出应县木塔第三层（即中间层）每面面阔8.83米（合3丈）是木塔设计的重要模数，并且木塔总高略大于第三层每面面阔的7.5倍（约7.625倍）或副阶檐柱高的15倍。事实上，木塔三层的确设计得非常完美，除了边长及层高均为3丈之外，内槽通面阔与层高之比为√2，外槽通面阔与内槽通面阔之比为（√2+1）：√2。因此，结合上述讨论与二位先生的研究，似乎可以认为，首层与三层都是应县木塔设计中十分重要的因素，而8丈与3丈也都是木塔设计的重要模数。
不过如果单就总体“高宽比”的控制效果而言：总高为首层通面阔的20/7（约2√2）倍（即以“总高”与“总宽”相比），似乎要比总高为第三层每面面阔的7.625倍（或者等于三层平面内接圆周长）更直观，也更易于达到所要追求的高宽比效果。特别是结合下文分析的一系列佛塔的高宽比及√2比例的运用来看，应县木塔高宽比等于2√2的构图似乎更有可能是其造型设计的根本意图。
（二）石塔
1 山西大同云冈石窟第21窟塔心柱（北魏）
云冈第21窟塔心柱下为基座，中为石雕仿木结构楼阁式五重塔，各层均方五间，顶层屋檐与窟顶之间雕纹饰。通过对《中国古代建筑史》（第二版，1984）一书中实测图进行几何作图，可得如下结论。
1）总高：首层檐口以上高=√2。
2）总高：首层通面阔=3。
3）总高自下而上：六分之一在台基顶部；三分之一在二层地面；二分之一略高于三层（即中间层）地面；六分之五在顶层阑额上皮（图13）。
图13 大同云冈石窟第21窟塔心柱正立面分析图
2 山西大同云冈石窟第2窟塔心柱（北魏）
云冈第2窟塔心柱下为基座，中为石雕仿木结构楼阁式三重塔，各层均方三间，周回廊，顶层屋檐与窟顶之间雕方形天盖与须弥山，底层塔身残损较严重。通过对《中国古代建筑史》（第二版，1984）一书中实测图进行几何作图，可得如下结论。
1）总高：方形天盖与须弥山以下高=√2。
2）总高：首层通面阔（不含副阶）=3。
3）总高自下而上：三分之一在二层地面；三分之二位于三层檐口（图14）。
图14 大同云冈石窟第2窟塔心柱正立面分析图
以上二塔虽为石仿木结构塔心柱，但其基本构图手法很可能在一定程度上反映了北魏楼阁式木塔的设计规律（本文附录中略晚于云冈北魏石塔的飞鸟时期日本楼阁式木塔中可以见到类似的构图手法）。
3 浙江杭州闸口白塔（五代末期）
杭州闸口白塔约建于北宋初建隆至开宝年间（960—975），其时杭州尚为吴越国钱氏辖区，故斯塔可视作五代末期建筑。闸口白塔为八角九层楼阁式石塔，通体仿木构，细致入微。
通过对梁思成《浙江杭县闸口白塔及灵隐寺双石塔》（载于《梁思成全集》第三卷）中的实测图（刘致平测绘）进行几何作图以及实测数据分析，可得如下结论。
（1）正立面总高与台基总宽
总高14.117米，如果取1尺=29.4厘米，合4.8丈；最下层台基总宽5.007米，合1.7丈。
总高（14.117米）：最下层台基总宽（5.007米）=2.819≈2√2（吻合度99.7%）——由此可知，闸口白塔整体高宽比与应县木塔相近，不同的是闸口白塔总宽取台基，而应县木塔总宽取首层通面阔。
总高（14.117米）：塔刹高（2.37米）=5.96≈6（吻合度99.3%）。
总高的二分之一约位于第五层（即中间层）楼面（图15）。
图15 杭州闸口白塔立面、剖面分析图
（2）正立面净高与首层通面阔
最下层台基高1.3米，土衬石加须弥座高1.35米，其中须弥座高1.02米，故土衬石高0.33米，因此塔净高即土衬石以上高=14.117-1.3-0.33=12.487米。
塔净高（12.487米，约合4.2丈）：首层通面阔（2.065米，合0.7丈）=6.047≈6（吻合度99.2%）。
塔净高6倍于首层通面阔比之塔总高2√2倍于大台基总宽更加能反映闸口白塔的造型特征。
（3）平面
须弥座总宽（取上枋，2.53米）：最下层台基总宽（5.007米）=0.505≈1：2（吻合度99%）。
此外，据傅熹年研究指出，塔身立面（除去塔刹和须弥座）分别以第五层（即中间层）每面面阔A与首层柱高H1为模数，其中塔刹底部至须弥座顶面为15A，顶层檐口至须弥座顶面为15H1。
综上可知：闸口白塔的设计综合考虑了总高与大台基总宽、净高与首层通面阔、塔身与中间层每面面阔和首层柱高的比例关系。由于全塔从整体到局部都高度写仿木塔形制，故其所体现的比例关系应该在较大程度上反映了五代末期楼阁式木塔的设计规律，十分难能可贵。
4 福建泉州开元寺仁寿塔（南宋嘉熙元年，1237年）
泉州开元寺双塔，西塔称仁寿塔，东塔称镇国塔，均为八角五层楼阁式石塔，通体仿木结构，是中国现存规模最大的双石塔。
通过对《中国古代建筑史》（第二版，1984）一书中的实测图进行几何作图，以及对《泉州东西塔》（1992）一书中所载福建省测绘局1986年实测数据进行分析，可得如下结论。
（1）正立面
总高（45.06米）：首层塔身周长（44.48米）=1.013≈1（吻合度98.7%）——类似《营造法原》记载的塔高与塔围关系（不过塔围不取书中所述的阶基周长，而取首层塔身周长）。
首层通面阔=44.48/8×（1+√2）=13.422米。
故总高（45.06米）：首层通面阔（13.422米）=3.36≈10：3（吻合度99.1%）——实际上，所有符合总高等于首层塔身周长的八角形塔，同时也满足总高：首层通面阔=8：（1+√2）=3.314≈10：3（吻合度99.4%）。
顶层檐口高=8.53+6.65+5.79+5.56+4.9=31.43米。
总高（45.06米）：顶层檐口高（31.43米）=1.43≈10：7（吻合度99.9%）；1.43≈√2（吻合度98.9%）——可知顶层檐口高与塔总高呈“方七斜十”的比例关系（图16）。
图16 泉州开元寺仁寿塔正立面分析图
（2）正立面模数网格
如果取A=总高/100=0.4506米作为正立面模数网格，则：
塔总高100A；
一层层高（含台基）8.53米，合18.9A≈19A（吻合度99.5%）；其中台基3A，一层净高16 A；
二层层高6.65米，合14.8A≈15A（吻合度98.7%）；
三层层高5.79米，合12.8A≈13A（吻合度98.5%）；
四层层高5.56米，合12.3A≈12A（吻合度97.6%）；
五层层高4.9米，合10.9A≈11A（吻合度99.1%）；
屋顶加塔刹高10.65+2.98=13.63米，合30.2A≈30A（吻合度99.3%）；
首层通面阔13.422米，合29.8A≈30A（吻合度99.3%）；
二层总宽（至柱外侧）28A，三层总宽（至柱外侧）26A，四层总宽（至柱外侧）24A，五层总宽（至柱外侧）22A——故塔身立面从首层至五层每层内径向内收进2A（即塔高的1/50）。
（3）平面
台基外接圆直径（取上枋）：外壁内切圆直径=√2；
外壁内切圆直径：内壁外接圆直径=√2；
台基八角形为内壁八角形边长之2倍；
内壁内切圆直径：塔心柱外接圆直径=2。
整个石塔平面呈环环相套的构图，一如应县木塔（图17）。
图17 泉州开元寺仁寿塔平面分析图
此外据傅熹年研究指出，塔身立面（除去塔刹和须弥座）分别以第三层（即中间层）每面面阔与首层柱高为模数，其中塔刹底部至台基顶面为前者的7倍，顶层檐口至台基顶面为后者的7倍。
综上可知：开元寺仁寿塔是从整体到局部、从平面到立面综合运用√2构图比例的又一完美杰作，同时亦是类似《营造法原》所载佛塔设计手法的典型实例，即总高等于塔围（取首层塔身周长）；并且该塔以A（总高的1/100）作为立面设计的基本模数，台基、首层至五层、屋顶加塔刹的高度分别为3A、16A、15A、13A、12A、11A和30A，而首层至五层的总宽（首层取通面阔，其余各层取柱外侧间距）分别为30A、28A、26A、24A、22A，其中三、四、五层塔身高宽比均为1:2。
（三）砖塔及砖木混合塔
1 山西五台山佛光寺祖师塔（北齐或隋）
佛光寺祖师塔为六角二层楼阁式砖塔。通过对梁思成《图像中国建筑史》（英文版，1984）一书中的实测图进行几何作图，可得如下结论。
1）总高：首层塔身以上高=√2。
2）总高：首层塔身总宽=2。
3）首层塔身直径：首层屋檐直径=1：√2；首层塔身以上高：首层屋檐直径=1。
4）如果取A=总高的1/10作为正立面模数网格，则首层塔身直径5A，首层屋檐直径（等于首层塔身以上高）7A，总高10A（图18）。
图18 佛光寺祖师塔正立面分析图
综上可知：佛光寺祖师塔的首层塔身直径、首层屋檐直径（等于首层塔身以上高）与总高构成1：√2：2的完美比例关系。
2 陕西西安慈恩寺大雁塔（唐—明）
慈恩寺大雁塔始建于唐永徽三年（652），是唐高宗为安放玄奘西行由印度取回的佛教经典而建，原为五层，砖表土心。唐长安年间（701—704）改建为方形七层空心砖塔；大历年间（778—779）又改作十层，后经战火破坏，剩下七层。后世多次重修，尤其是明万历年间，对残破的塔身加砌砖面，形成今日之格局。塔方形七层，矗立在高大的台基之上，整体比例粗壮雄强。各层以壁柱划分开间，以叠涩形成腰檐，首层、二层面阔九间，三、四层面阔七间，五、六、七层面阔五间。
通过对《陕西古建筑》（2015）一书中的实测图进行几何作图以及实测数据分析，可得如下结论。
1）总高（64.5米）：台基总宽（45.7米）=1.411≈√2（吻合度99.8%）；总高：二层塔身柱头以上高=√2。
2）总高（台基以上）：台基顶宽=√2；总高（台基以上）：第六层柱头距台明距离=√2。
3）总高（64.5米）：首层边长（25.5米）=2.529≈5：2（吻合度98.9%）；首层边长（25.5米）：首层层高（10.36米）=2.46≈5：2（吻合度98.5%）——故首层高宽比与整体高宽比互为倒数。
4）各层层高分别为：首层10.36米，二层7.37米，三层7.15米，四层6.65米，五层6.7米，六层6.4米，七层5.2米。
首层层高（10.36米）：二三层平均层高（7.26米）=1.427≈√2（吻合度99.1%）。
四五六层平均层高（6.583米）：二三层平均层高（7.26米）=0.907≈9：10（吻合度99.2%）。
七层层高（5.2米）：首层层高（10.36米）=0.502≈1：2（吻合度99.6%）（图19，图20）。
图19 西安大雁塔正立面分析图（一）
图20 西安大雁塔正立面分析图（二）
综上可知：大雁塔亦是在整体和局部熟练运用√2比例的杰作。
3 江苏苏州虎丘云岩寺塔（北宋建隆二年，961年）
虎丘云岩寺塔为八角七层砖塔，原为一座带木腰檐及平坐的外观仿木楼阁式砖塔，现腰檐平坐俱毁，仅余砖构，塔身结构采用厚壁双套筒式，内部各层均设有塔心室及回廊。通过对《中国古代建筑史》（第二版，1984）一书中的实测图进行几何作图，可得如下结论。
（1）剖面
总高（不含塔刹）：首层边长=8——与《营造法原》记载相似。不过鉴于此塔塔刹以及外檐木构均无存，故砖构塔心的比例仅仅反映出局部构图手法，整体比例暂时无法分析（图21）。
图21 苏州虎丘云岩寺塔正立面分析图
（2）平面
核心筒外接圆直径：内壁内切圆直径=1：√2；
内壁内切圆直径：外壁内切圆直径=1：√2。
平面呈环环相套构图，一如前述诸塔（图22）。
图22 苏州虎丘云岩寺塔平面分析图
另据《中国古代建筑史•第三卷：宋、辽、金、西夏建筑》（第二版，2009）一书实测数据，塔总高47.68米，依照上述作图分析，则塔首层边长=47.68/8=5.96米，如果取1尺=29.8厘米（此数值介于唐尺29.4厘米和北宋尺30.5厘米~31厘米之间），塔首层边长合2丈，塔高合16丈。
4 江苏苏州罗汉院双塔（北宋太平兴国七年，982年）
苏州罗汉院双塔一名功德塔，一名舍利塔，形制相同，均为八角七层仿木楼阁式砖塔。通过对《中国古代建筑史 第三卷：宋、辽、金、西夏建筑》（第二版，2009）及梁思成《图像中国建筑史》（英文版，1984）中的实测图进行几何作图，可得如下结论。
（1）东塔正立面
总高（台基以上）：一层每面面阔=15。
塔刹加屋顶高：总高（台基以上）=1：3。
总高（台基以上）的二分之一约位于第五层檐口（图23）。
图23 苏州罗汉院双塔正立面分析图
（2）西塔二层立、剖面
层高：每面面阔=√2；每面面阔：柱高=√2；层高：柱高=2。
（3）西塔首层塔心室剖面
首层塔心室高：面阔=3：2；平闇盝顶以下高：面阔=√2。（图24）
图24 苏州罗汉院西塔首层塔心室剖面及二层立、剖面分析图
5 内蒙古巴林右旗辽庆州释迦佛舍利塔（辽重熙十八年，1049年）
辽庆州释迦佛舍利塔俗称庆州白塔，建于辽圣宗庆陵的陵邑庆州。塔为八角七层楼阁式砖塔，塔身刷白色，因而得名。其建塔碑上记载了主持建塔的塔匠都作头寇守辇、副作头吕继鼎及窑坊、雕木匠、铸相轮匠、铸镜匠、锻匠、石匠、贴金匠等各工种作头的姓名，难能可贵。
通过对《中国古代建筑史 第三卷：宋、辽、金、西夏建筑》（第二版，2009）一书中实测图进行几何作图，及《辽庆州释迦佛舍利塔营造历史及其建筑构制》（《文物》1994年12期）一文中的实测数据进行分析，可得如下结论。
1）总高（第二层台基以上）：首层塔身每面面阔=8——与《营造法原》记载相似。
2）总高（第二层台基以上）的二分之一位于第四层（即中间层）地面。
3）塔刹加屋顶高：总高（第二层台基以上）=1：4；塔刹高：总高（第二层台基以上）=3/16（图25）。
4）据实测数据，塔下两层台基高3.8米，台基以上至刹顶高69.47米，则塔总高73.27米，如果取辽代1尺=29.4厘米，则塔总高合24.92丈，约25丈（吻合度99.7%）。
图25 内蒙古辽庆州白塔正立面分析图
此外，傅熹年研究指出：柱脚至顶层檐口高为第四层（即中间层）边长的7倍，而柱脚至塔刹底高为首层柱高之13倍。
综上可知：庆州白塔的立面设计从整体到局部兼顾了总高（二层台基以上）与首层边长、塔刹以下高与柱高、顶层檐口高与中间层边长三组比例关系。
6 河北定县开元寺料敌塔（北宋咸平四年至至和二年，1001—1055年）
开元寺料敌塔创建于北宋咸平四年（1001年），至和二年（1055年）建成，历时五十余载。塔为八角十一层砖塔，通高84.2米，取1尺=30.5厘米，合27.6丈，是中国现存最高的砖塔。
通过对《中国古代建筑史》（第二版，1984）一书中实测图进行几何作图，以及对刘敦桢《河北定县开元寺塔》（载于《刘敦桢全集》第十卷）一文中的实测数据进行分析，可得如下结论。
（1）剖面
总高（台基以上，79.92米）：首层塔身边长（9.99米）=8——塔高与塔围（取首层塔身周长）相等（此点刘敦桢《河北定县开元寺塔》一文已指出）。
总高（台基以上）：塔刹高=8。
八层地面至塔顶高：总高（台基以上）=3:8（图26）。
图26 河北定州料敌塔正立面分析图
（2）平面
核心筒内切圆直径：内壁外接圆直径=1：√2；
外壁外接圆直径：台基内切圆直径=1：√2。
平面环环相套，一如前述诸塔（图27）。
图27 河北定州料敌塔平面分析图
7 安徽蒙城万佛塔（北宋崇宁七年，1108年）
蒙城万佛塔为八角十三层砖塔，各层平、剖面均不同，结构、构造形式异彩纷呈。通过对《中国古代建筑史 第三卷：宋、辽、金、西夏建筑》（第二版，2009）一书中实测图进行几何作图以及实测数据分析，可得如下结论。
1）总高（42.5米）：首层边长（3.1米）=13.71≈14（吻合度98%）。
2）七层（中间层）以上高：七层以下高=1：√2。
3）若取1尺=30.5厘米，则首层边长合1.016丈，约1丈（吻合度98.4%）；总高合13.93丈，约14丈（吻合度99.5%）——故蒙城万佛塔设计的基本构图可能是令底边长1丈，塔高14丈（图28）。
图28 安徽蒙城万佛塔正立面分析图
8 北京颐和园花承阁琉璃塔（清乾隆十六年，1751年）
颐和园花承阁琉璃塔因通体黄、蓝、靛、绿、紫五彩琉璃而著名，为八角形楼阁式砖塔，外覆琉璃砖瓦，晶莹夺目。塔分三层，一层塔身之上是两重檐，下檐用黄琉璃瓦，上檐用绿琉璃瓦，重檐之上承平坐，平坐下部为三层黄琉璃仰莲，上部为蓝、靛、黄三色琉璃制成的栏板；二层塔身与一层类似，上为重檐，其上又为仰莲及栏板组成之平坐；三层塔身之上为三重檐，上承塔刹。
通过对《中国古典园林建筑图录 北方园林》（2015）一书中的实测图进行几何作图，结合对《中国古建筑测绘大系 园林建筑：颐和园》（2017）一书中的实测数据进行分析，可得如下结论。
1）总高：总宽（取须弥座上枋）=3.5；总高（须弥座以上，16.385米）：首层通面阔（2.902米）=5.646≈4√2（吻合度99.8%）——高宽比二倍于应县木塔。
2）总高（18.05米）：一层檐口（取瓦当上皮）以上高（12.703米） =1.421≈√2（吻合度99.5%）。
3）总高（18.05米）：一层每面面阔（1.706米）＝10.58≈10.5（吻合度99.2%）。
4）总高（18.05米）：塔刹高（2.407米）=7.499≈7.5（吻合度接近100%）（图29）。
图29 北京颐和园花承阁琉璃塔正立面分析图
二 密檐式塔
密檐式塔下为高大的单层塔身（下部有时设须弥座和莲座），建在巨大的基座上，塔身上部为重叠若干层之塔檐（通常以砖石叠涩形成塔檐，也有仿木结构出檐者，出檐层数自三、五、七、九到十一、十三、十五、十六、十八层不等），檐间只有极低矮之象征性塔身，最上为塔刹。各层塔檐往往构成极优美之梭形弧线轮廓。
有学者认为密檐塔是三世纪天竺出现的与婆罗门教天祠形式相近的砖塔于南北朝时期传入中国，并与中国楼阁式塔的一些特点相结合而形成的。
1 河南登封嵩岳寺塔（北魏正光四年，523年）
嵩岳寺塔为中国现存最古老的佛塔，其造型之独特真可谓“前不见古人，后不见来者”——塔平面呈十二边形，为国内孤例。塔立面由下而上分别为台基、塔身、十五重密檐和塔刹，除了塔刹为石雕之外，通体用灰黄色砖砌成。
单层塔身立于简朴的台基之上，分上下两部分，中间以一段叠涩线脚隔开。塔身东、南、西、北四个正面有贯通上下两部分的券门，半圆形拱券上方有马蹄形尖拱券面装饰，为典型印度样式。其余八面，下半段为素面，上半段则各砌出一座单层方塔形壁龛，形制与云冈石窟单层塔造型类似。同时上半段砌出十二根角柱，柱下有砖雕的覆盆形柱础，柱头饰以砖雕的垂莲和火焰，为印度、波斯混合样式。
塔身之上是十五重密檐，为叠涩式出檐，且每层直径逐步内缩，塔的外部轮廓呈轻快秀美的抛物线形。
密檐之上为石造的塔刹，自下而上分别为覆莲、须弥座、仰莲、相轮和宝珠，覆莲造型尤为饱满有力。
内部中央塔室为八角形，直径约5米，墙体厚2.5米。
通过对《中国古代建筑史》（第二版，1984）中实测图进行几何作图，以及对河南省古代建筑保护研究所《登封嵩岳寺塔勘测简报》（《中原文物》1987年12月）一文中详细的实测数据进行分析，可得如下结论。
（1）首层边长（取塔底边）平均值为2.835米，正十二边形内径=边长×（2+√3）=2.835×3.732=10.58米，与《中国古代建筑史》（第二版，1984）所载塔身直径尺寸10.6米吻合。由此可知：
总高（37.045米）：首层总宽（10.58米）=3.5（即7：2，吻合度100%）。
（2）首层檐口高（取叠涩出檐最远一层砖下皮）=首层总宽——由此可知：
总高：首层檐口以上高=7：5≈√2——即塔之密檐加塔刹部分与塔总高呈“方五斜七”（即1：√2）之关系，这也是下文许多密檐式塔的共同规律，在嵩岳寺塔这座密檐式塔“鼻祖”身上体现得十分清晰。
（3）如果将塔总高七等分，则自下而上：七分之一位于塔身上下段分界处，七分之二位于首层檐口，七分之三位于四层檐口，七分之四位于七层檐口，七分之六位于顶层塔身顶部（即叠涩第一层砖下皮），因此顶层屋顶加塔刹高为总高的1/7（图30）。
图30 嵩岳寺塔正立面分析图（一）
（4）总高（37.045米）：首层边长（2.835米）=13.07≈13（吻合度99.5%）——与上述许多八角形楼阁式塔总高等于首层周长不同，此塔总高13倍于首层边长，略大于12倍。
然而据实测数据，若塔高取台基以上为36.025米，首层边长取塔身上半段倚柱之柱外角间距平均值为2.985米。则：
总高（台基以上）：首层边长（取塔身上半部）=36.025/2.985=12.07≈12（吻合度99.4%）。
因此，嵩岳寺塔同样可以视作塔高等于首层塔身周长的实例（图31）。
图31 嵩岳寺塔正立面分析图（二）
（5）平面
首层塔身内部上半部为八边形，边长平均值为2.215米，故八边形内径=2.215×（1+√2）=5.347米。由此可知：
塔心室八边形内径（5.347米）：塔体十二边形内径（10.58米）=0.505≈1：2（吻合度99%）（图32）。
图32 嵩岳寺塔平面分析图
综上所述，这座中国最古老的佛塔通体比例清晰而完美：总高与塔身总宽形成7：2的高宽比，且塔上部的密檐加塔刹部分与全塔形成“方五斜七”（即1：√2）的比例；与此同时，若取台基以上为塔高，则塔身上半段周长恰与塔高相等——这说明塔高等于塔围（取首层塔身周长）的佛塔构图方法很可能可以追溯到北魏时期。该塔足以视作此后大批密檐式塔的理想原型，除了十二边形平面不再出现之外，其他许多构图比例则在其“后继者”身上不断延续。
2 云南大理崇圣寺千寻塔（南诏劝丰祐时期，823—859年）
崇圣寺三塔岿然矗立在苍山洱海之间，为大理古城最重要的标志。其中，主塔千寻塔为方形十六重密檐式塔，整体比例纤秀高峻，为中国古代佛塔中之极瘦高者。
通过对《大理崇圣寺三塔》（1998）一书中实测图进行几何作图，以及对实测数据的分析，可得如下结论。
（1）立面
原塔残高（不含塔刹，59.6米）：塔身总宽（平均值9.83米）=6.06≈6（吻合度99%）。
修复之后总高（两层大台基以上，69.13米）：塔身总宽（平均值9.83米）=7.03≈7（吻合度99.6%）——千寻塔现状高宽比二倍于嵩岳寺塔，极为挺拔纤秀。
塔刹高：总高=1：7——需要指出的是，据《大理崇圣寺主塔的实测和清理》（1981）一文称，原塔刹已毁，现塔刹是作者依据清末传教士拍摄的老照片以及其他现存同一时期的塔刹（如大理佛图寺塔塔刹）形制复原的，依据老照片中刹与塔身的比例，将塔刹高度设计为塔总高的1/7，故此塔高宽比例尤其是总高数值仅供参考。
（2）剖面
总高：三层楼面以上高=7：5≈√2。
不同于登封嵩岳寺塔首层檐口以上高与总高呈“方五斜七”比例，千寻塔是二层檐部以上高与总高呈“方五斜七”比例——这可能是因为千寻塔共16层密檐，且每二层一组分成八组，故一、二层檐其实是一组，与首层塔身形成构图上的一个整体，从塔之剖面观之尤为清晰（图33，图34）。
图33 大理崇圣寺千寻塔正立面分析图
图34 大理崇圣寺千寻塔剖面分析图
3 云南大理佛图寺塔（南诏劝丰祐时期，824—859年）
佛图寺塔俗称蛇骨塔，建造年代与崇圣寺千寻塔接近，为方形十三重密檐塔，总高30.12米。刘敦桢曾赞此塔“全体比例，在省内同系诸塔中最为无懈可击……其外观之秀丽，亦为滇省诸塔之冠”。通过对《大理崇圣寺三塔》（1998）一书中实测图进行几何作图，可得如下结论。
（1）立面
总高（台基以上）：首层塔身总宽（约等于首层塔身高）=6。
（2）剖面
从佛图寺塔剖面实测图可知，下部八层每二层为一组，上部五层为单独一组。
若设首层塔身总宽为A，则总高（台基以上）6A；其中，下部八层（至第九层塔身顶部）高3.5A，上部五层及塔刹高2.5A，二者之比为7:5≈√2（即“方五斜七”）。
故佛图寺塔整体构图呈现为——首层塔身高：首层塔身顶部至第九层塔身顶部高：第九层塔身顶部至塔刹高=2:5:5，比例清晰简洁（图35，图36）。
图35 大理佛图寺塔正立面分析图
图36 大理佛图寺塔剖面分析图
4 山西灵丘觉山寺塔（辽大安五至六年，1089—1090年）
山西灵丘觉山寺塔为辽代大量密檐塔中较早的一座，八角十三重檐，可以看作下文北京天宁寺塔的“原型”。全塔由塔基（包括须弥座、平坐和仰莲）、塔身、十三重密檐和塔刹组成。塔基雕刻精美，犹存唐风。塔心室内外八壁尚存辽代壁画六十余平方米，弥足珍贵。
通过对《山西灵丘觉山寺辽代砖塔》（《文物》1996年第2期）一文中实测图进行几何作图以及实测数据分析，可得如下结论。
（1）主要尺寸
塔总高44.23米，取1尺=29.4厘米，合15.04丈，约15丈（吻合度99.7%）；
塔基最下层边长6.2米，合2.1丈；总宽=6.2×（1+√2）=14.97米，合5.09丈，约5丈（吻合度98.2%）；
塔基（包括须弥座、平坐、仰莲）总高7.33米，合2.49丈，约2.5丈（吻合度99.6%）；
塔身边长（取柱头）3.73米，故塔身总宽=3.73×（1+√2）=9米，合3.06丈，约3丈（吻合度98%）。
（2）立面
总高（44.23米）：塔基总宽（14.97米）=2.95≈3（吻合度98.5%）。
总高（44.23米）：塔身边长（取柱头，3.73米）=11.86≈12（吻合度98.8%）；总高（44.23米）：塔身总宽（9米）=4.91≈5（吻合度98.2%）。
总高：首层檐口以上高=√2（图37）。
图37 山西灵丘觉山寺塔正立面分析图
（3）平面
内壁外接圆直径：外壁内切圆直径=1：√2；
外壁内切圆直径：须弥座内切圆直径=1：√2（图38）。
图38 山西灵丘觉山寺塔平面分析图
综上可知：山西灵丘觉山寺塔高15丈，基宽5丈，塔身宽3丈，比例关系简洁；总高与首层檐口以上高之比为√2，与嵩岳寺塔构图一致；平面则呈典型的环环相套之构图。
5 北京天宁寺塔（辽天庆九至十年，1119—1120年）
天宁寺塔为北京城区内最古老的建筑，也是辽南京珍贵的遗存。该塔为八角形十三重密檐式砖塔，塔的外观分为基座、塔身、十三重密檐及塔刹几部分。
基座下层为须弥座，之上又有束腰一道，再上雕有平坐一圈，勾栏、斗栱俱全，最上为三重仰莲承托塔身。
塔身与塔座高度相当，四个正面雕有拱门，四个侧面雕直棂窗，门窗两侧及上部雕有金刚力士、佛、菩萨等雕像，各转角柱上均有浮雕蛟龙。
十三重密檐之中，最下一层檐属于塔身，出檐稍远，檐下斗栱也与上面十二层略有不同。上部十二重檐宽度每层向上递减，并且递减率向上增加，从而使塔的外轮廓形成缓和的卷杀曲线。
密檐之上以两层仰莲及小须弥座承托宝珠构成塔刹。
通过对笔者2013年用激光三维扫描仪实测的立面图进行几何作图和实测数据分析，可得如下结论。
（1）天宁寺塔通高55.94米，若按1尺＝29.4厘米计，合19.027丈，约19丈（吻合度99.9%）；塔总高（三层大台基以上）53.03米，合18.037丈，约18丈（吻合度99.8%）。
全塔自下而上高度分别为：
下部三层大台基总高=1.03+1.25+0.63=2.91米，合0.99丈，约合1丈（吻合度99%）；
须弥座、平坐、仰莲总高=2.75+3.49+1.79=8.03米，合2.73丈，约2.7丈（吻合度98.9%）；
首层塔高（至二层普拍枋下皮）=8.89米，合3.02丈，约3丈（吻合度99.3%）；
二至十二层层高分别为2.1、2.1、2.08、2.03、2.04、2.02、2.06、2.09、2.05、2.01、2.25米，故平均层高2.075米，合每层0.706丈，约0.7丈（吻合度99.2%）；总计22.83米，7.77丈；
第十三层总高（含屋顶）4.52米，合1.54丈；故二至十三层总高=7.77+1.54=9.31丈，约9.3丈（吻合度99.9%）；
塔刹高8.76米，合2.98丈，约3丈（吻合度99.3%）。
（2）总高（三层大台基以上，53.03米）：须弥座总宽（取上枋，18.883米）=2.808≈2√2（吻合度99.3%）——高宽比与应县木塔相同（后者总宽取首层通面阔）。
（3）总高（三层大台基以上，53.03米）：首层檐口以上高（取飞椽下皮，37.634米）=1.409≈√2（吻合度99.6%）——与嵩岳寺塔、觉山寺塔构图相同（图39）。
图39 北京天宁寺塔正立面分析图（一）
（4）总高（三层大台基以上，53.03米）：首层台基总宽（52.79米）=1.005≈1（吻合度99.5%）。
总高（三层大台基以上，53.03米）：塔身底部至塔刹八角形刹座顶部距离（37.264米）=1.423≈√2（吻合度99.4%）——即塔身加密檐高与总高之比为1：√2（图40）。
图40 北京天宁寺塔正立面分析图（二）
（5）总高（三层大台基以上，53.03米）：塔身边长（5.863米）=9.04≈9（吻合度99.6%）。
由上可知：天宁寺塔总高（三层大台基以上）53.03米，合18丈；塔身边长5.863米，合2丈；此为天宁寺塔设计的基本出发点之一——总高为9倍塔身边长。
（6）总高（三层大台基以上，53.03米）：塔刹高（8.76米）=6.054≈6（吻合度99.1%）；
总高（三层大台基以上，53.03米）：首层塔身高（含腰檐8.89米）=5.965≈6（吻合度99.4%）。
故首层塔身高、塔刹高均为总高（三层大台基以上）的1/6。
综上可知：天宁寺塔的设计综合运用了√2构图比例和总高与塔身边长的比例关系——总高宽比为2√2，总高与塔身边长之比为9；同时自下而上简洁地划分成大台基1丈、基座2.7丈、首层3丈、密檐各层0.7丈（加上屋顶总计9.3丈）、塔刹3丈这五个段落，总高19丈，三层大台基之上18丈，其中塔刹高与首层塔身高皆为总高（三层大台基之上）的1/6，同时又是首层边长（2丈）的1.5倍（图41）。
图41 北京天宁寺塔正立面分析图（三）
6 内蒙古宁城县辽中京大明塔（辽）
辽中京大明塔即感圣寺舍利塔，位于内蒙古宁城县辽中京遗址内，为十三重密檐式砖塔。塔体由基座、双层须弥座、塔身、十三重密檐和塔刹组成。
通过对《辽中京塔的年代及其结构》（《古建园林技术》1985年第2期）一文中实测图进行几何作图以及实测数据分析，可得如下结论。
（1）据实测数据，塔身各面顶宽10.21米，故塔身总宽（取顶宽）=10.21×（1+√2）=24.647米。由此可知：
总高（73.12米）：塔身总宽（24.647米）=2.967≈3（吻合度98.9%）。
自下而上，三分之一位于塔身各面佛龛拱顶，三分之二位于第八层檐口。
（2）普拍枋下皮高=须弥座总宽（取上枋）；普拍枋下皮高：须弥座上枋上皮高=2（图42）。
图42 辽中京大明塔正立面分析图
7 云南大理宏圣寺塔（大理国时期）
大理宏圣寺塔为方形十六重密檐塔。通过对《大理崇圣寺三塔》（1998）一书中实测图进行几何作图，可得如下结论。
（1）立面
总高（台基以上）：首层塔身总宽（约等于首层塔身高）=6。
（2）剖面
设首层塔身总宽为A，则总高（台基以上）6A，第十层檐以下高3.5A，第十层檐以上高2.5A，由此可知：
第十层檐以下高：第十层檐以上高=7:5≈√2（即方五斜七）。
宏圣寺塔整体构图呈现为——首层塔身高：首层塔身顶部至第十层檐高：第十层檐至塔刹高=2:5:5，构图手法与佛图寺塔大同小异（图43）。
图43 大理宏圣寺塔正立面分析图
8 云南大理崇圣寺南塔（大理国时期，约12世纪）
大理崇圣寺南塔为八角形十重密檐塔。通过对《大理崇圣寺三塔》（1998）一书中实测图进行几何作图及实测数据分析，可得如下结论。
1）总高（42.19米）：塔身总宽（5.31米）=7.95≈8（吻合度99.4%）。
其中，总高（三层台基以上）约为塔身总宽的7.5倍。
2）总高：第二层檐以上高=√2——手法与崇圣寺千寻塔接近（图44）。
图44 大理崇圣寺南塔正立面分析图
9 北京慈寿寺塔（明万历四年至六年，1576—1578年）
慈寿寺塔建于明万历四年（1576年），史名永安万寿塔，俗称八里庄塔、玲珑塔，为明代单层密檐式塔的最典型范例。明万历四年神宗之母李太后出资建寺及塔，万历六年（1578年）建成。至清光绪年间寺院荒废，惟孤塔得以保存至今。该塔平面为八角形，立于高台基之上，基上建塔身，上出十三层密檐，是仿北京天宁寺辽塔建造。
通过对笔者2013年用激光三维扫描仪实测的立面图进行几何作图和实测数据分析，可得如下结论。
（1）总高（56.684米）：上层须弥座栏板总宽（18.936米）=2.993≈3（吻合度99.8%）。
取明中期1尺=31.84厘米，总高合17.8丈。
（2）总高（两重大台基以上，53.82米）：塔身平板枋上皮至塔顶距离（38.168米）=1.41≈√2（吻合度99.7%）。
总高（两重大台基以上，53.82米）合16.9丈；塔身平板枋上皮至塔顶距离（38.168米）合12丈。
（3）第二层大台基顶部至塔身平板枋上皮（15.652米）：塔身总面阔（15.559米）=1.006≈1（吻合度99.4%）。
塔身边长=15.559/（1+√2）=6.445米，合2.026丈，约2丈（吻合度98.7%）（图45）。
图45 北京慈寿寺塔（玲珑塔）正立面分析图
10 北京万松老人塔（清乾隆十八年，1753年）
万松老人塔位于北京西城砖塔胡同，为金元间著名僧人万松老人的墓塔，原为七重密檐式砖塔，清乾隆十八年（1753年）仿造旧塔建九重密檐式砖塔，将原塔包裹其中。
通过对《北京古建文化丛书：塔桥》（2014）一书中实测图进行几何作图，可得如下结论。
（1）总高：塔身总宽≈7：2。
其中，首层檐口高（取叠涩出檐最远一层砖下皮）=塔身总宽；首层檐口至塔刹底部高=2倍塔身总宽；塔刹高≈1/2塔身总宽。
（2）总高：首层檐口以上高=7:5≈√2（即方五斜七）——此塔虽然时间上与嵩岳寺塔相距1230年，但构图比例却一脉相承（图46）。
图46 北京万松老人塔正立面分析图
三 单层塔
前文所言楼阁式塔，如果塔刹下仅一层塔身与屋檐，则为单层塔。在大同云冈石窟浮雕中或敦煌莫高窟壁画中，单层塔形象均颇多见。单层塔多为僧人墓塔，神通寺四门塔是少见的例外。
1 山东历城神通寺四门塔（隋大业七年，611年）
神通寺四门塔为方形单层石塔，是现存单层塔之最早实例，塔身四面各开一券门，因此得名。塔身以上叠涩出檐，再以反叠涩作攒尖顶，顶上立刹。塔内中央有塔心柱，四面各置一佛像，环绕中心柱有环廊一周，上部为人字坡顶。
通过对黄国康《四门塔的维修与研究》（《古建园林技术》1996年6月）一文的实测图进行几何作图以及实测数据分析，可得如下结论。
（1）正立面
总高（15.04米）：塔身边长（7.4米）=2.03≈2（吻合度98.5%）。
总高的二分之一位于檐口，即叠涩出挑最远的一层砖下皮（图47）。
图47 山东历城神通寺四门塔正立面分析图
（2）剖面
总高：塔心柱以上高=√2（图48）。
图48 山东历城神通寺四门塔剖面分析图
（3）平面
塔身边长（7.4米）：墙厚（0.82米）=9.024≈9（吻合度99.7%）。
此外，塔四面叠涩出檐均为0.82米，故全塔平面以墙厚A=0.82米为基本模数，塔室边长7A，塔身边长9A，屋檐边长11A（图49）。
图49 山东历城神通寺四门塔平面分析图
2 山东长清灵岩寺慧崇塔（唐天宝年间，742—756年）
长清灵岩寺慧崇塔为方形单层重檐石塔，全塔由须弥座、塔身、两层叠涩出檐（之间有一段极短的塔身）和塔刹组成，通高8.52米（取1尺=29.4厘米，合2.9丈）。塔身东、南、西三面辟门，其中南门为真门，可由此进入塔内；东、西二门为石雕半掩门，雕有一侍女探出半身状，为墓室中常见之形式，在佛塔中却不多见。
通过对黄国康《灵岩寺慧崇塔的修缮及其特点》（《古建园林技术》1996年3月）一文的实测图进行几何作图以及实测数据分析，可得如下结论。
（1）正立面
总高（须弥座以上，7.35米）：塔身总宽（3.75米）=1.96≈2（吻合度98%）。
总高（台基以上）的二分之一位于首层檐口（即叠涩出檐最远一层砖下皮）——其正立面构图手法与隋代的四门塔可谓一脉相承。
总高（须弥座以上，7.35米）：须弥座上枋宽（5.25米）=1.4=7:5≈√2（吻合度99%，即“方五斜七”）（图50）。
图50 山东长清灵岩寺慧崇塔正立面分析图
（2）平面
须弥座上枋宽（5.25米）：塔身总宽（3.75米）=1.4=7:5≈√2（吻合度99%，即“方五斜七”）。
塔身总宽（3.75米）：墙厚（0.74米）=5.068≈5（吻合度98.7%）。
须弥座上枋宽（5.25米）：墙厚（0.74米）=7.095≈7（吻合度98.7%）。
故全塔平面以墙厚A=0.74米为模数，须弥座上枋宽7A，塔身边长5A，塔室边长3A——与神通寺四门塔手法相同（图51）。
图51 山东长清灵岩寺慧崇塔平面分析图
综上可知，慧崇塔总高（须弥座以上）：须弥座上枋宽：塔身总宽=2：√2：1，比例关系清晰而完美。
3 山西运城泛舟禅师塔（唐贞元九年，793年）
泛舟禅师塔为圆形单层砖塔，自下而上分作基座、小须弥座、塔身、叠涩的塔檐和屋顶、塔刹。通过对《山西古建筑》（2015）一书中的实测图进行几何作图，可得如下结论。
1）总高：台基直径=2；总高的一半约位于叠涩出檐起始处。
2）总高：塔身直径=2√2；台基直径：塔身直径=√2。
3）塔刹高=塔身直径（图52）。
综上可知，塔身直径（等于塔刹高）、台基直径与总高形成1：√2：2√2之比例关系，共同塑造出这座圆形塔完美的造型。
4 山西平顺海会院明惠禅师塔（唐乾符四年，877年）
海会院明惠禅师塔为方形单层石塔，自下而上分作基座、须弥座、塔身、雕作雀眼网造型的铺作层、屋顶和造型极其优美的塔刹。通过对《中国古代建筑史》（第二版，1984）一书中实测图进行几何作图，可得如下结论。
（1）正立面模数网格
取A=总高的1/10作为立面模数网格，则：
塔总高10A，其中基座高2A，须弥座、塔身和屋顶共高4A，塔刹高4A（其中下两层带山花蕉叶的须弥座各高A），台基总宽4A，塔身边长2.5A，塔身底部至檐口距离2.5A。
（2）正立面
总高：须弥座以上高=√2。
总高：塔身边长=4——塔高与塔围（取塔身周长）相等。
总高：基座总宽（等于屋檐总宽）=5：2（图53）。
图53 山西平顺海会院明惠禅师塔正立面分析图
综上可知：海会院明惠禅师塔是一座综合运用√2构图比例和立面模数网格的杰作，同时考虑了总高与塔围（即塔身周长）、总高与基座总宽的比例关系。
四 覆钵式塔（即喇嘛塔）
覆钵式塔即喇嘛塔，因元代藏传佛教的流行而开始广为建造。覆钵式塔下部通常建须弥座两层（清代多为一层），平面常作复杂的“亞”字形（有时为圆形）；须弥座上置覆莲或金刚圈；其上为覆钵形塔身（不同于印度原始窣堵坡的半球形，而是上部比下部宽的瓶形）；再上又是平面为“亞”字形（或圆形）的小须弥座，其上为圆锥形的“十三天”（即相轮）及宝盖、宝珠。刘敦桢认为覆钵式塔“全体形制所保存印度佛塔的成分，较我国任何一种塔为多”;他还指出印度阿旃陀石窟中“有些塔的覆钵上部反较下部稍宽；而公元6世纪以后，相轮的数目已增到十三层。此二者传入印度北部的尼泊尔（Nepal）和我国的西藏，便演变成喇嘛塔的塔肚子和十三天。”
梁思成在《中国建筑史》中总结了喇嘛塔在元、明时期与清代所发生的变化：“此式佛塔自元代始见于中国，至清代而在形制上发生显著之巨变。元塔须弥座均上下两层相叠，明因之，至清乃简化为一层，其比例亦甚高大，须弥座以上，元、明塔均作莲瓣以承塔肚，清塔则作比例粗巨之金刚圈三重。元、明塔肚肥矮，外轮线甚为圆和，清塔较高瘦梗涩，并于前面作眼光门以安佛像或佛号。元、明塔脖子及十三天比例肥大，其上为圆盘及流苏铎，更上为宝珠，至清塔则塔脖子十三天瘦长，其上施天盘地盘，而宝珠则作日月火焰。此盖受蒙古喇嘛塔之影响，而在各细节上有此变动也。”
1 北京妙应寺白塔（元至元十六年，1279年）
妙应寺（即白塔寺）白塔是北京现存最大的覆钵式塔，也是老城区内仅存的元代佛塔，可视作元大都的象征。妙应寺白塔由尼泊尔匠师阿尼哥主持修建，明《长安客话》称其“制度之巧，盖古今所罕有矣”。
白塔建在一个“凸”字形的巨大台座上，台四周有围墙，四角有角亭，有转经道可供信徒绕塔诵经。塔的最下层为“亞”字形台座，四角各有五个转角。台座上是重叠两层的巨大须弥座，平面形式与台座相同。须弥座以上是覆莲，覆莲以上为略近似鼓形的塔身。塔身之上又是一层须弥座，再上是圆锥形的“十三天”，最上是“天盘”和宝顶——宝顶造型其实是一座缩微的喇嘛塔。塔身从凸字形台面至宝顶总高50.86米。
通过对清华建筑学院中国营造学社纪念馆藏中国营造学社实测图以及《中国古代建筑史》（第二版，1984）中实测图进行几何作图以及实测数据分析，可得如下结论。
（1）白塔及大台基构成的正立面整体
总高（含大台基）：大台基总宽=√2（图54）。
图54 北京妙应寺白塔正立面分析图（一）
（2）白塔正立面
总高：覆莲以上高=10：7≈√2（方七斜十）。
总高：台基总宽=5：3。
总高：塔身直径（即覆钵最宽处）=5：2。
十三天加天盘加宝顶高=塔身直径（图55）。
图55 北京妙应寺白塔正立面分析图（二）
（3）正立面模数网格
总高=50.86米，取元代1尺=31.75厘米，合16丈。
如果以1.6丈作为正立面模数网格，则：
总高10格，台基总宽6格，塔身直径4格，天盘宽2格，台基、须弥座及覆莲总高3格，塔身加上部小须弥座高约3格，十三天高约3格，宝顶高1格。总高的二分之一大约位于塔身轮廓线由直线向弧线的转折处。
（4）正立面各部分之比例关系
设须弥座加台基总高为A，则：
塔身（含覆莲）高=A；
台基宽（取四角间距）=2A；
塔身上部小须弥座总宽=A；
塔刹总高=（2√2-1）A——其中，天盘以下高√2A，天盘以上高（√2-1）A。
由上可知：除了1.6丈，塔身（含覆莲）高A为立面设计的另一个基本模数（图56）。
图56 北京妙应寺白塔正立面分析图（三）
（5）平面
大台基边长：下层须弥座边长（取最宽处）=√2；
下层须弥座边长（取最宽处）：塔身直径（取最宽处）=√2；
塔身直径（取最宽处）：天盘直径=2。
全塔平面呈环环相套之格局。
此外，月台面阔：大台基边长=1：√2（图57）。
图57 北京妙应寺白塔平面分析图
综上可知：妙应寺白塔是在平、立面设计的整体到局部皆巧妙运用√2比例的杰作。
2 山西五台山塔院寺白塔（元大德五年，1301年）
塔院寺白塔为五台山台怀建筑群的标志，同样出自阿尼哥之手，形制与北京妙应寺白塔极为接近，但整体比例更趋瘦高。通过对《中国古建筑测绘十年：2000~2010清华大学建筑学院测绘图集》（上册，2011）一书中的实测图进行几何作图及实测数据分析，可得如下结论。
（1）总高（55.155米）：塔身直径（16.175米）=3.41≈2+√2（吻合度99.9%）。
总高（大台基以上54.105米）：塔身直径（16.175米）=3.34≈10：3（吻合度99.7%）。
（2）塔总高55.155米，取1尺=31.75厘米，合17.37丈，约17.4丈（吻合度99.8%）；
总高（大台基以上）54.105米，合17.04丈，约17丈（吻合度99.8%）；
塔身直径16.175米，合5.09丈，约5.1丈（吻合度99.8%）。
设塔身直径（5.1丈）=A，则：
塔总高（2+√2）A——其中覆钵式塔身加上部小须弥座高A，十三天、天盘及宝顶高A，塔身以下高√2A。
塔身加塔刹高：塔身以下基座总高=2A：√2A=√2。
（3）总高：十三天底部以下高=（2+√2）A：（1+√2）A=√2——即塔总高与十三天以下高之比为√2（下文许多覆钵式塔皆运用此构图手法）（图58）。
图58 五台山塔院寺白塔正立面分析图（一）
（4）以塔身直线与曲线转折处为界，上部高√2A，下部高2A，二者之比为1：√2。
塔下大台基总宽≈2A（图59）。
图59 五台山塔院寺白塔正立面分析图(二)
北京妙应寺白塔与五台山塔院寺白塔皆出自阿尼哥之手，可谓名副其实的姊妹篇。二者都在整体和局部综合运用√2比例构图，体现了一脉相承的设计手法。但由于前者采用5:2（2.5）的总高宽比，后者采用（2+√2）:1（3.41）的总高宽比（不含大台基则高宽比为10:3即3.33），因而前者雄浑，后者挺秀，取得了不同的造型与气质。
耐人寻味的是，来自尼泊尔的大匠阿尼哥，带来罕见的覆钵式喇嘛塔，但却能与汉地建筑群取得“和而不同”的效果，运用基于方圆作图的√2比例应该是一个重要原因。至于阿尼哥使用这套方法是尼泊尔的传统手法，或者是源自藏传佛教的“曼荼罗”构图手法（同样包含方圆相含的构图与√2比例），还是和汉人工匠互相交流的结果，是一个值得深入探究的引人入胜的课题。
3 山西代县阿育王塔（元至元十二年，1275年）
山西代县阿育王塔原为圆国寺主要建筑，今寺已不存，仅余此塔。塔平面圆形，下为双重圆形须弥座（最下有地栿和覆莲各一层），其上为覆莲座、金刚圈及覆钵塔身，再上为一层亞字形小须弥座及一层圆形小须弥座、十三天、天盘及宝珠。梁思成曾称此塔“可以说是中国现存瓶状塔中比例最好的一座”。
通过对《山西古建筑》（下册，2015）一书中的实测图（引自《柴泽俊古建筑文集》）进行几何作图，可得如下结论。
1）总高：十三天以下高≈√2。
2）塔刹高（小须弥座、十三天及宝珠总高）：塔刹以下高=1：√2。
3）总高：须弥座总宽（取下枋）=2。
4）总高：塔身直径≈4（图60）。
图60 山西代县阿育王塔正立面分析图
4 北京护国寺双塔（元或明）
北京护国寺东、西舍利塔均为典型覆钵式塔，西塔较东塔比例纤秀，二塔今已不存，但通过对刘敦桢《北平护国寺残迹》（《中国营造学社汇刊》第六卷第二期，1935）一文中实测图进行几何作图，可得如下结论。
西塔
1）总高：须弥座总宽≈1+√2。
2）十三天以下高：十三天以上高=√2；十三天加宝珠高≈基座总宽（图61）。
图61 北京护国寺西塔正立面分析图
东塔
1）十三天以下高：十三天以上高=√2——构图手法与西塔相同。
2）十三天加宝珠高=覆钵塔身加两重小须弥座高（图62）。
图62 北京护国寺东塔正立面分析图
综上可知，二塔之共同点是以十三天底部为界，分上下两部分高度为1：√2。可惜东塔基座残缺，无法分析其整体高宽比。
5 北京北海永安寺白塔（清顺治八年，1651年）
永安寺白塔伫立北海琼华岛之巅，为古都北京之重要标志。白塔下为高大的“亞”字形须弥座，上为金刚圈三重，其上为覆钵状塔身，塔身正面作龛形壶门，曰“眼光门”。塔身之上为小须弥座承仰莲，上为十三天、圆盘二重及日月火焰宝珠。通过对《中国古建筑测绘大系 园林建筑：北海》（2015）一书中的实测图进行几何作图，可得如下结论。
1）总高（台基以上）：须弥座总宽（取上枋）=2。
2）总高（台基以上）：金刚圈下皮以上高=√2。
3）总高（台基以上）：塔刹高=2√2。
4）塔身总宽：塔身高=√2。
综上可知，北海白塔与妙应寺白塔一样，皆是从整体到局部综合运用√2构图比例之杰作（图63）。
图63 北京北海永安寺白塔立面分析图
6 北京颐和园须弥灵镜四塔（清）
北京颐和园须弥灵境仿西藏桑耶寺曼荼罗（坛城）布局，其中大殿四角为四座颜色各异的喇嘛塔，分别为黑塔、白塔、绿塔和红塔，象征佛教的不同智慧（一说象征四大天王）。通过对《中国古建筑测绘大系•园林建筑：颐和园》（2017）一书中的实测图进行几何作图以及实测数据分析，可得如下结论。
西北塔（白塔）
1）总高（13.333米）：基座总宽（4.798米）=2.779≈2.8（吻合度99.3%）；2.779≈2√2（吻合度98.3%）。
2）基座高≈基座总宽≈塔刹高；总高的二分之一约位于葫芦形塔身中央须弥座下皮（图64）。
图64 北京颐和园须弥灵镜西北塔立面分析图
东北塔（黑塔）
总高（13.128米）：基座总宽（4.81米）=2.729≈2.8（吻合度97.5%）（图65）。
图65 北京颐和园须弥灵镜东北塔立面分析图
西南塔（绿塔）
1）总高（14.184米）：基座总宽（4.82米）=2.943≈3（吻合度98.1%）。
2）总高：十三天以下高=√2。
3）基座总宽（4.82米）：基座总高（4.841米）=0.996≈1（吻合度99.6%）（图66）。
图66 北京颐和园须弥灵镜西南塔立面分析图
东南塔（红塔）
1）总高（14.127米）：基座总宽（4.82米）=2.931≈3（吻合度97.7%）。
2）总高：十三天以下高=√2。
3）基座总宽（4.82米）：基座总高（4.841米）=0.996≈1（吻合度99.6%）（图67）。
图67 北京颐和园须弥灵镜东南塔立面分析图
综上可知：须弥灵境四塔立面均以基座总宽为基本模数，高度分别为其2.8（约2√2）和3倍，东南、西南塔总高与十三天以下高之比均为√2。
7 五台山龙泉寺普济和尚墓塔（民国）
龙泉寺普济和尚墓塔是五台山重要的石构覆钵式塔。最下层为方形须弥座，绕以石栏杆，其上为双重八角须弥座、仰莲、覆钵式塔身、石雕的斗栱承托八角屋檐、塔刹。一段屋檐的加入算是一个勉强的创新，使得全塔略显怪异，但整体比例还是继承了传统手法。
通过对《中国古建筑测绘十年：2000~2010清华大学建筑学院测绘图集》（上册，2011）一书中的实测图进行几何作图及实测数据分析，可得如下结论。
1）如果以A=0.652米（合2尺）作为正立面模数网格，则：塔总高20A，塔刹高7A，塔身（含下部仰莲及其基座）高7A，双重八角形须弥座高4A，宽5A；方形大须弥座高2A，宽10A。
2）总高：双重须弥座以上高=20:14≈√2（方七斜十）。
3）总高：方形大须弥座总宽=2。
4）总高：八角形须弥座宽=4（图68）。
图68 五台山龙泉寺普济墓塔正立面分析图
五 金刚宝座塔
所谓金刚宝座塔，是在高大的方形或矩形高台（即金刚宝座）之上，建塔五座，一座居中央，四座分居四隅，中央一塔体型最大，其余四塔为同一尺度且均小于中央大塔，对中央大塔呈簇拥之势。五塔之形制既有密檐式，亦有覆钵式。金刚宝座塔形制极有可能受印度佛陀伽耶塔（亦称菩提伽耶大塔）之影响，其构图则为佛教密宗的“曼荼罗”格局。形制完整的金刚宝座塔主要于明代传入中土，虽然数量远较前几类佛塔稀少，却也独树一帜。
1 北京正觉寺金刚宝座塔（明成化九年，1473年）
正觉寺（亦称真觉寺、五塔寺）金刚宝座塔据说依印度僧人班迪达带来的印度金刚宝座塔样式建成，下垒金刚宝座，上建五塔，建成于明成化九年（1473）。
金刚座最下为须弥座，须弥座以上划分为五层，各层以石雕屋檐为界，龛列佛像，最上端冠以女墙，石台南、北面正中各辟券门一道，为登台入口。由内部台阶可“左右蜗旋而上”台顶。台上五塔，一大塔居中，四小塔居四隅，各塔平面均为方形，形制皆为单层密檐塔，四小塔十一重檐，中央大塔十三重檐。除五塔外，中塔南侧尚有方形重檐小殿一座，下檐方，上檐圆，覆黄、绿二色琉璃瓦，为登塔台阶之出入口。
通过对笔者2013年的实测图进行几何作图及实测数据分析，可得如下结论。
（1）全塔总高由中央大塔塔刹顶至金刚宝座底共计21.968米，取明中期1尺＝31.84厘米计，合6.9丈；
金刚宝座高9.492米，合2.98丈，约3丈（吻合度99.3%）；
金刚宝座总宽（取须弥座上枋，15.756米），合4.95丈；
中央大塔高13.096米，合4.11丈，约4.1丈（吻合度99.8%）；
四隅小塔高10.138米，合3.18丈，约3.2丈（吻合度99.4%）。
（2）总高（大台基以上，21.968米）：金刚宝座总宽（取须弥座上枋，15.756米）=1.394≈7：5（吻合度99.6%）；1.394≈√2（吻合度98.6%）。故金刚宝座塔高宽比为7:5，约√2（即“方五斜七”）。
（3）金刚宝座高（9.492米）：金刚宝座总宽（15.756米）=0.602≈3：5（吻合度99.7%）。
（4）总高（大台基以上，21.968米）：大台基总宽（21.894米）=1.003≈1（吻合度99.7%）（图69）。
图69 北京正觉寺金刚宝座塔正立面分析图
值得一提的是，许多文献均称正觉寺金刚宝座塔完全按照印度样式建造。如明《帝京景物略》称“成祖文皇帝时，西番班迪达来贡金佛五躯，金刚宝座规式……成化九年，诏寺准中印度式，建宝座，累石台五丈，藏级于壁，左右蜗旋而上，顶平为台，列塔五，各二丈……”；《明宪宗御制真觉寺金刚宝座记略》则称“创金刚宝座，以石为之，基高数丈，上有五佛，分为五塔，其丈尺规矩与中印土之宝座无以异也。”
然而总体观之，正觉寺金刚宝座塔虽然是以印度佛塔（佛陀伽耶塔）为蓝本，但同时明显融合了中国工匠的建筑、雕刻技艺，并增加了中国传统的密檐方塔、琉璃方亭等元素，成为中印建筑文化结合的典范。特别是依据以上构图分析，此塔也运用了中国古代佛塔中广泛出现的√2构图比例，这究竟直接源自印度金刚宝座塔构图（很可能基于密宗“曼荼罗”方圆相含的图式），还是中国工匠融入了自身惯用的构图手法——这一疑问与前文所述阿尼哥设计北京妙应寺白塔和五台山塔院寺白塔的情况类似，尚待深入研究。
2 湖北襄樊广德寺金刚宝座塔（明弘治七至九年，1494-1496年）
湖北襄樊广德寺多宝塔为金刚宝座塔样式，下为八角形金刚宝座，上建五塔及东侧楼梯间方亭。中央大塔为覆钵式塔（喇嘛塔），其余四塔分居东南、西南、东北、西北四个方向，皆为六角密檐式塔。
通过对高介华《广德寺多宝佛塔》（《华中建筑》1996年第3期）一文中实测图进行几何作图及实测数据分析，可得如下结论。
1）金刚宝座高以上高（10米）：金刚宝座高（7米）=10:7≈√2（吻合度99%，即方七斜十）。
2）上部大塔总高：须弥座总宽（取上枋）=2√2。
3）上部大塔基座总高（须弥座加金刚圈加覆莲）=十三天加宝珠高=须弥座总宽（取上枋）（图70）。
图70 湖北襄樊广德寺金刚宝座塔正立面分析图
七 楼阁与覆钵混合式塔
中国古代佛塔中还有一类极为独特的复合式造型，即下部为普通的楼阁式塔（或单层塔），上部加一座覆钵式塔，本文称之为“楼阁与覆钵混合式塔”——北京云居寺北塔、天津蓟县观音寺白塔皆为此类塔之代表；还有些此类佛塔，甚至在覆钵式塔身上附加层层叠叠之小塔，俗称“花塔”，河北正定广惠寺华塔、北京房山万佛堂花塔及丰台镇岗塔皆为典型代表。
1 北京云居寺北塔（辽重熙年间，1032—1055年）
云居寺北塔又称罗汉塔，创建于辽重熙年间（1032—1055），为混合式砖塔，下部为楼阁式，上部为覆钵式。塔基为双层八角形须弥座，上承平坐，但平坐周边无栏杆，上建八角形楼阁式砖塔两层，各面分设拱门或仿木构直棂窗，并雕出仿木构斗栱、屋檐等。塔内中空，塔心有八角形塔心柱，绕柱有砖阶可攀登。二重楼阁之上为喇嘛塔式，自下而上依次为八角形须弥座、覆钵、小须弥座、“十三天”（实为圆锥形九层相轮）和宝珠。
通过对笔者2013年用激光三维扫描仪的实测图进行几何作图和实测数据分析，可得如下结论。
（1）总高（31.42米）：十三天以下高（取覆钵上小须弥座上皮，22.135米）=1.419≈√2（吻合度99.6%）。
（2）下部楼阁高（取二层腰檐屋脊上皮，15.601米）：上部覆钵式塔高（15.819米）=0.986≈1（吻合度98.6%）（图71）。
图71 北京云居寺北塔正立面分析图（一）
（3）总高（31.42米）：一层腰檐以上高（取一层腰檐屋脊上皮，22.147米）=1.419≈√2（吻合度99.6%）。
（4）覆钵式塔塔身以下高：塔身以上高=√2（图72）。
图72 北京云居寺北塔正立面分析图（二）
（5）设覆钵式塔塔身直径=A，则：
总高=（2+2√2）A。其中，一层楼阁高√2A；二层楼阁高A；覆钵（包含上下须弥座）高A；十三天及宝珠高√2A（其中十三天高A）——整个立面构图以总高的中线（即楼阁式塔与覆钵式塔的分界线）为界，呈镜像对称，极具匠心，充满了音乐般的韵律感。基于方圆作图的√2比例以及精妙的镜像对称构图，将下部二层楼阁与上部覆钵式塔统一成水乳交融的整体，实在令人赞叹（图73）。
图73 北京云居寺北塔正立面分析图（三）
七 结语：一法得道，变法万千
通过上述分析与讨论，可知在中国古代佛塔设计中，基于方圆作图的√2比例广为运用，而佛塔总高与首层塔身（或台基）通面阔（或总宽、直径）、边长之间常常具有清晰的比例关系，塔身高度与首层柱高或中间层边长也常存在模数关系。这些看似简单的“规矩”，在中国历代匠人们的巧妙运用下，却创造出千变万化的佛塔造型，真正达到了“从心所欲不逾矩”之境地，是古人所谓“一法得道、变法万千”的生动诠释。
以下先扼要总结本文所探讨的中国古代佛塔主要的构图比例，再简析其构图手法背后蕴含的重要文化内涵。
1 佛塔构图比例小结
（1）高宽比：总高与首层塔身通面阔（或总宽、直径）成清晰比例关系
从前文分析可知，中国古代各类佛塔之总高与首层塔身通面阔（或总宽、直径）之比例关系非常密切，主要包含如下常见比例（表1）。
表1 中国古代佛塔常见高宽比实例列表
高宽比（总高：首层塔身总宽） | ||
注：表中带“*”的实例总宽取台基总宽；带“°”的实例总高取台基以上高。
特别值得注意的是，上述常见佛塔高宽比中，与√2比例相关的包括√2（2例）、√2+1（1例）、2√2（7例）、2+√2（1例）、4√2（1例），共计12例。
此外，高宽比为3的实例有6例，或许体现了“周三径一”的比例关系（古人将圆周率π近似认为是3），也可以看作是方圆关系之一种，即圆形周长与其外接正方形边长之比。
（2）总高与局部高度之√2比例
除了12例高宽比直接运用√2比例的佛塔之外，本文分析的大量佛塔均存在总高与局部高度呈√2比例的情况，主要包括以下6种类型：
上檐构图甲——总高：顶层檐口以下高=√2；
上檐构图乙——总高：顶层檐柱柱头以下高=√2；
下檐构图甲——总高：首层檐口以上高=√2；
下檐构图乙——总高：首层檐柱柱头以上高=√2；
塔刹构图——总高：塔刹以下高=√2；
基座构图——总高：基座以上高=√2。
本文实例中符合此6类构图比例的佛塔见下表（表2）。
表2：中国古代佛塔6种√2构图典型实例列表
此外，还有一些佛塔是总高方向上被分成1：√2的两段，如安徽蒙城万佛塔（以第七层楼面为界）、大理佛图寺塔（以第九层檐下皮为界）、大理宏圣寺塔（以第十层檐上皮为界）、五台山塔院寺白塔（以覆钵底部为界）、代县阿育王塔（以塔刹底部为界）、北京护国寺东、西塔（以十三天底部为界）、云居寺北塔（以覆钵底部为界），共计8例。
以上各类总高与局部高度、局部高度之间运用√2比例的实例共计29例（有个别案例同时运用多种构图手法），更进一步证明√2比例在佛塔设计中运用手法之丰富。
（3）平面之√2比例
平面设计中运用，使得平面布局呈环环相套格局的实例包括：泉州开元寺仁寿塔、五台山佛光寺祖师塔、苏州虎丘云岩寺塔、河北定州料敌塔、嵩岳寺塔、山西灵丘觉山寺塔、山东长清灵岩寺慧崇塔、山西平顺海会院明惠禅师塔、北京妙应寺白塔，共计9例。
（4）总高与首层塔身边长成清晰比例关系
佛塔总高常为首层塔身边长的倍数（类似《营造法原》的记载）。其中，许多八角形塔总高为首层塔身边长的8倍（即与首层塔身周长相等），如内蒙古巴林右旗辽庆州释迦佛舍利塔、定州开元寺料敌塔、苏州虎丘云岩寺塔及泉州开元寺仁寿塔等4例。嵩岳寺塔总高为首层塔身边长的12倍（平面为独一无二的十二边形）。此外，还有一些总高与首层塔身边长呈其他比值的情况，如苏州罗汉院双塔（15倍）、安徽蒙城万佛塔（14倍）、颐和园花承阁琉璃塔（10.5倍）、北京天宁寺塔（9倍）等。
2 《营造法式》第一图
基于方圆作图的√2比例在佛塔以外的各类型中国古建筑中也广为运用，且有着悠久的历史和深刻的文化内涵。
尤其耐人寻味的是，中国现存最重要的古代建筑专书——北宋的《营造法式》一书中，出现在图版中的第一幅插图即是“圆方方圆图”，分别为一幅“圆方图”（绘一圆与其内接正方形）与一幅“方圆图”（绘一正方形与其内切圆）（图74）。该图不仅是全书第一幅插图，也是“总例”中的唯一插图——这幅图的重要性远非一般，作者李诫的这一编排实际上含义深远。结合《营造法式》“总例”的文字可知，此图实为李诫所引《周髀算经》之插图（图75），与此图密切配合的文字，是《营造法式》正文开篇即“营造法式看详”第一条目“方圆平直”下所引《周髀算经》中的一段话：
“数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。万物周事而圆方用焉,大匠造制而规矩设焉。”
图74 北宋《营造法式》第一图：“圆方方圆图”
图75 《周髀算经》中的“圆方图”与“方圆图”
过去研究《营造法式》的学者们常常表示遗憾，该书虽然详细阐明了木结构建筑（特别是大木作制度）“以材为祖”的要义，对于理解中国古代建筑的“材分°”模数制意义重大，然而除此之外，对建筑单体设计中十分重要的总轮廓及开间、进深、柱高等重要尺寸及比例关系（即书中所谓“屋宇之高深”）却鲜有提及。其实，李诫对这些建筑设计中的重要内容虽未明言，却所幸还是在“总例”的字里行间和这幅重要的“圆方方圆图”中，为我们研究中国古代建筑（包括城市）的基本构图比例留下了一条极其重要的线索。
其实，《营造法式》所引《周髀算经》“圆方图”和“方圆图”中所包含的方圆作图手法，正是中国古代都城规划、建筑群布局与建筑设计中重要而根本的设计方法，而其背后所蕴含的则是中国古人“天圆地方”的宇宙观与追求天、地、人和谐的文化理念。《周髀算经》的另一段话正好诠释了“圆方图”和“方圆图”所代表的文化内涵及基于此的方圆作图法：
“方属地，圆属天，天圆地方。方数为典，以方出圆。”
《周髀算经》中所谓“万物周事而圆方用焉,大匠造制而规矩设焉”，则为基于“圆方图”、“方圆图”这两幅最基本的方圆作图而衍生的一系列重要构图比例——这一中国历代匠师（大匠之传人）所遵循与恪守的“规矩”之道——写下了注脚。
其实，古人对于方圆作图及√2比例之谙熟与运用，远比《周髀算经》成书之时要早得多。据冯时研究指出：辽宁牛河梁红山文化圜丘的三环石坛，直径分别为11米、15.6米、22米，构成十分精确的1:√2:2的比例关系，即每一环石坛与其内环石坛直径之比值皆为√2。而这一构图比例恰恰可以通过反复运用“方圆图”和“圆方图”所示的方圆作图手法来获得，并且具有了“天圆地方”的象征意义——这样的构图比例和象征意义都与圜丘作为祭天的场所密切相关（图76）。与红山文化圜丘约略同时期的、公元前3000年左右的良渚文化玉琮即为方圆相含的造型（断面犹如《周髀算经》的“方圆图”），并且明显带有天圆地方、天地贯通的象征含义。
图76 辽宁牛河梁红山文化圜丘三环石坛直径之比示意图
本文列举的许多佛塔平面构图也呈现出与红山文化圜丘极其相似的环环相套的构图——中国古代佛塔平面多为方形、八角形、六角形，少数覆钵式塔平面带有圆形构图，平面内外各重方形、八角形、六角形或圆形直径（或边长）之间常常呈√2比例关系（或1:2关系）——目前笔者所知的运用这一手法最早的佛塔平面是著名的北魏洛阳永宁寺塔，通过对其遗址平面实测图进行几何作图和实测数据分析可知：永宁寺塔第一圈立柱通面阔（5.25米）：第二圈立柱通面阔（10.75米）：第四圈立柱通面阔（21米）：第五圈立柱通面阔（30米）≈1:2:4:4√2，基于方圆作图的比例关系一目了然（图77）。
图77 北魏洛阳永宁寺塔平面分析图——与牛河梁红山文化圜丘平面构图一脉相承
值得一提的是，方圆作图比例的文化渊源，除了源自中国古人的“天圆地方”宇宙观念以外，在佛塔这一来自印度的特殊建筑类型中，不得不提到佛教密宗的“曼荼罗”宇宙图式，该图式常呈现为方圆相含构图——与《周髀算经》、《营造法式》中的“圆方图”、“方圆图”可谓异曲同工（图78）。因此在上述中国历代佛塔，尤其是更接近印度（或西藏）原型的覆钵式塔和金刚宝座塔的设计中，究竟源自中国匠师古已有之的方圆作图手法（可以追溯至5000年前的红山文化圜丘）占主导地位，还是源自印度或藏传佛教密宗的“曼荼罗”图式更为根本，这里面涉及大量建筑文化传播与交流的复杂课题，非本文所能回答。本文主旨在于探析中国古代佛塔之构图比例，至于这些构图手法背后可能包含的更加丰富而引人入胜的文化渊源，则有待未来继续探索。
图78 佛教密宗“曼荼罗”图式
最后需要指出的是，中国古代浮图何止万千，本文所列实例中，虽然包括中国古代建筑史上许多赫赫有名的作品，然而对于探索蔚为大观的中国古塔而言，本文仍不过是一次小规模的粗浅尝试；文中所揭示出的一系列构图比例和提出的初步论证，则需要经过更多专家学者的验核、批评与斧正。希望拙文能够对中国古代佛塔之构图比例研究起到抛砖引玉的作用。
附录：日本典型楼阁式木塔构图比例简析
下面对9座日本典型楼阁式木塔（年代范围相当于中国唐至明代）进行构图比例分析，与前文对中国古代佛塔的研究类似，重点着眼于两个方面：即√2构图比例的运用以及总高与首层通面阔比例关系之探讨。
此前已有一些中国学者对日本楼阁式木塔的构图比例进行过研究，并取得了相当具有启发性的成果。
傅熹年曾经对日本飞鸟、奈良时期的木构佛塔进行了构图分析，并指出塔高与首层柱高（或副阶柱高）H1的模数关系，通常五重塔高7H1，三重塔高5H1。除了首层柱高之外，中间层通面阔也是一个常用的模数。此外，张十庆的《中日古代建筑大木技术的源流与变迁》（2004）、肖旻的《唐宋古建筑尺度规律研究》（2006）、张毅捷的《中日楼阁式木塔比较研究》（2012）等论著也对日本楼阁式木塔之构图比例做出了重要探索，尤其对木塔设计中的基准长（模数）进行了深入研究。
在前人研究基础上，本文进一步发现，日本楼阁式木塔普遍运用√2比例（尤其是总高与塔刹以下高常为√2:1关系），并且总高与首层通面阔常为整数倍或半数倍关系。
以下逐一分析9座日本楼阁式木塔实例。
1 奈良法隆寺五重塔（711年）
奈良法隆寺于公元607年由日本圣德太子创建，670年毁，680年以后重建，约710年左右完成。法隆寺五重塔为世界最古老的木塔，中立通高刹柱以承塔刹，围绕刹柱建五层木构塔身，一至四层每面三间，五层每面二间，一层带副阶一周。
傅熹年在日本学者研究基础上指出，五重塔以0.75高丽尺（1高丽尺=1.186日本曲尺=0.359米）为材广，各层面阔与塔高以材广为模数（与法隆寺金堂相同）。若设N=0.75高丽尺，则一层各间面阔7N、10N、7N；二层各间面阔6N、9N、6N；三层各间面阔5N、8N、5N；四层各间面阔4N、7N、4N；五层各间面阔6N、6N；总高（台基以上）120N，塔身高84N，一层柱高12N。总高（台基以上）为10倍一层柱高，塔身高为7倍一层柱高，故一层柱高为立面设计的扩大模数。张十庆进一步指出，五重塔各层通面阔呈1:0.875:0.75:0.625:0.5比例关系，而底层明间面阔和梢间面阔之比为10:7，即√2比例关系（“方七斜十”）。
通过对张毅捷《中日楼阁式木塔比较研究》（2012）一书中的实测图进行几何作图，结合该书及傅熹年《中国古代城市规划、建筑群布局及建筑设计方法研究》（2001）中所载实测数据分析，可得如下结论。
（1）立面、剖面
总高（112.395曲尺）：塔刹以下高（80.43曲尺）=1.397≈7:5（吻合度99.8%）；1.397≈√2（吻合度98.8%）——由此可知，塔刹以下高与塔总高为“方五斜七”比例关系（图79）。
图79 法隆寺五重塔立面分析图（一）
总高（台基以上，107.44曲尺）：塔身高（75.475曲尺）=1.424≈10:7（吻合度99.7%）；1.424≈√2（吻合度99.3%），即塔身高与总高（台基以上）呈“方七斜十”比例关系——与傅熹年指出的首层柱高H1，塔总高（台基以上）10H1（合120材），塔身高7H1（84材）的结论一致——实际上是令刹柱加塔刹总高与刹柱高之比为10:7。
总高（台基以上，107.44曲尺）：首层通面阔（含副阶，35.8曲尺）=3（图80） 。
图80 法隆寺五重塔立面分析图（二）
总高（台基以上，107.44曲尺）：首层通面阔（不含副阶，21.18曲尺）=5.073≈5（吻合度98.5%），其中总高120材，通面阔24材（图81） 。
图81 法隆寺五重塔剖面分析图
（2）平面
首层明间面阔（8.84曲尺）：次间面阔（6.17曲尺）=1.433≈10:7（吻合度99.7%）；1.433≈√2（吻合度98.7%）——如转化成高丽尺，则明间面阔7.5高丽尺，次间面阔5.25高丽尺，二者恰呈“方七斜十”关系。
综上可知：法隆寺五重塔以0.75高丽尺为材广，总高（台基以上）合120材，塔身高84材，塔身高与总高（台基以上）呈“方七斜十”比例（即1:√2）——这也是日本古代木塔的一般构图规律（详见下文）；此外，首层通面阔24材，为总高（台基以上）的1/5；首层通面阔（含副阶）为40材，为总高（台基以上）的1/3；首层柱高12材，为总高（台基以上）的1/10；各层通面阔分别为24材、21材、18材、15材和12材，逐层递减3材；首层梢间（7材）与明间面阔（10材）同样呈“方七斜十”比例关系。全塔一方面严格遵循“以材为祖”的原则，一方面又巧妙运用了√2及1:3、1:5构图比例来控制整体造型。
2 奈良法起寺三重塔（706年）
奈良法起寺三重塔为木构三层方塔，一、二层面阔三间，三层面阔二间，中立上下贯通之木刹柱。傅熹年指出，此塔与法隆寺五重塔相同，以N=0.75高丽尺为模数（但不等于材广），各层通面阔分别为24N、18N、12N；塔身高为一层柱高的5倍。
通过对傅熹年《日本飞鸟、奈良时期建筑中所反映出的中国南北朝、隋、唐建筑特点》（1992）及张毅捷《中日楼阁式木塔比较研究》（2012）中所载实测图进行几何作图及实测数据分析，可得如下结论。
1）总高（25.342米）：塔刹以下高（18.009米）=1.407≈√2（吻合度99.5%）；总高（台基以上，24.267米）：塔身高（16.934米）=1.433≈10:7（吻合度99.7%）；1.433≈√2（吻合度98.7%）——与法隆寺五重塔构图手法完全相同。
2）总高（台基以上，24.267米）：首层通面阔（17.85曲尺，合5.409米）=4.486≈4.5（吻合度99.7%）——高宽比4.5，略小于法隆寺五重塔。
3）首层明间面阔（7.39曲尺）：次间面阔（5.23曲尺）=1.413≈√2（吻合度99.9%）（图82）。
图82 法起寺三重塔剖面分析图
3 奈良药师寺东塔（730年）
奈良药师寺东塔为日本白凤时期（710—750）唯一建筑遗存，为木结构三层方塔，中立刹柱，但因屋檐采用“裳阶”（即副阶）形式，故外观六层檐。傅熹年研究指出：此塔不仅以材为模数，还以分°为分模数，且塔身高为一层柱高的5倍，与法起寺同。
通过对张毅捷《中日楼阁式木塔比较研究》（2012）中实测图进行几何作图及实测数据分析，可得如下结论。
1）总高（115.465曲尺）：塔刹以下高（81.335曲尺）=1.42≈√2（吻合度99.6%）。
2）总高（台基以上，112.65曲尺）：塔身高（78.52曲尺）= 1.435≈10:7（吻合度99.6%）；1.435≈√2（吻98.5%）。
3）总高（115.465曲尺）：首层通面阔（23.2曲尺）=4.977≈5（吻合度99.5%）。
4）首层通面阔（23.2曲尺）：首层柱高（16.23曲尺）=1.429≈10:7（吻合度接近100%）；1.429≈√2（吻合度99%）（图83）。
图83 药师寺东塔立面分析图
4 奈良海龙王寺五重小塔（奈良时代，约645—780年）
海龙王寺小塔是一座五重塔木模型，陈设于海龙王寺西金堂内。傅熹年研究指出：此塔塔身高为一层柱高的7倍，总高约为一层柱高的10倍，与法隆寺五重塔同。
通过对傅熹年《日本飞鸟、奈良时期建筑中所反映出的中国南北朝、隋、唐建筑特点》（《文物》1992年第10期）中的实测图进行几何作图，结合张毅捷《中日楼阁式木塔比较研究》（2012）一书所载实测数据分析，可得如下结论。
1）总高（台基以上，13.235曲尺）：塔身高（9.42曲尺）=1.405≈√2（吻合度99.4%）。
2）总高（14.195曲尺）：首层通面阔（2.55曲尺）=5.567≈5.5（吻合度98.8%）——高宽比略大于法隆寺五重塔（图84）。
图84 海龙王寺五重小塔立、剖面分析图
5 奈良室生寺五重塔（奈良时代末期，645—780年）
奈良室生寺五重塔为木构五层方塔，每层方三间。傅熹年研究指出，此塔同样以分°为分模数，并以第三层通面阔A为扩大模数，塔身高约6A。
通过对傅熹年《日本飞鸟、奈良时期建筑中所反映出的中国南北朝、隋、唐建筑特点》（《文物》1992年第10期）及张毅捷《中日楼阁式木塔比较研究》（2012）所载实测图进行几何作图及实测数据分析，可得如下结论。
1）总高（台基以上，53.34曲尺）：塔身高（38.26曲尺）=1.394≈7:5（吻合度99.6%）；1.394≈√2（吻合度98.6%）。
2）总高（56.54曲尺）：首层通面阔（8.08曲尺）=6.998≈7（吻合度接近100%）（图85）。
图85 室生寺五重塔立、剖面分析图
6 奈良当麻寺东塔（奈良时代末期，645—780年）
当麻寺东塔为木构三层方塔，各层均方三间。通过对张毅捷《中日楼阁式木塔比较研究》（2012）一书所载实测数据进行分析，可得如下结论。
1）总高（83.134曲尺）：塔刹以下高（59.403曲尺）=1.399≈7:5（吻合度接近100%）；1.399≈√2（吻合度99%）。
2）总高（台基以上，80.45曲尺）：塔身高（56.713曲尺）=1.419≈√2（吻合度99.6%）。
3）总高（台基以上，80.45曲尺）：首层通面阔（17.56曲尺）=4.581≈4.5（吻合度98.2%）。
7 京都醍醐寺五重塔（951年）
醍醐寺五重塔为木构五层方塔，各层均方三间。通过张毅捷《中日楼阁式木塔比较研究》（2012）一书所载实测图进行几何作图及实测数据分析，可得如下结论。
1）总高（131.72曲尺）：塔刹以下高（87.69曲尺）=1.502≈3:2（吻合度99.9%）。
2）总高（131.72曲尺）：首层通面阔（21.89曲尺）=6.017≈6（吻合度99.7%）（图86）。
图86 醍醐寺五重塔立面分析图
8 奈良兴福寺三重塔（镰仓时期）
兴福寺三重塔为木构三层方塔，各层均方三间。傅熹年指出其塔身高为一层柱高的5倍。通过对傅熹年《日本飞鸟、奈良时期建筑中所反映出的中国南北朝、隋、唐建筑特点》（《文物》1992年第10期）一文中的实测图进行几何作图，可得如下结论。
1）总高：塔刹以下高=√2。
2）总高：首层通面阔=4（图87）。
图87 兴福寺三重塔立面分析图
9 石川县那谷寺三重塔（1642）
那谷寺三重塔为木构三层方塔，各层均方三间。通过对张十庆《中日古代建筑大木技术的源流与变迁》（2004）一书中实测图进行几何作图，可得如下结论。
1）总高：塔刹以下高=√2（图88）。
图88 那谷寺三重塔立面分析图
综上所述，日本楼阁式木塔形制比较一贯，正如日本学者滨岛正士指出的：“楼阁式木塔自其传入以来直至江户时代其形式没有大的变化，可以说是传统性非常强的一种建筑类型。”
上述9座木塔，除了醍醐寺五重塔之外，其余8座皆满足总高与塔刹以下高（或总高（台基以上）与塔身高）之比为√2，构图手法高度一致——与中国大多数古塔相比，日本楼阁式木塔的塔刹占总高的比例极高（约占2/7或3/10）。此外，除那谷寺三重塔外，其余8座塔的总高与首层通面阔之比皆为整数倍或半数倍，见下表（表3）。
表3：日本楼阁式木塔总高与首层通面阔比例列表
总高：首层通面阔 | 佛塔实例 | 备注 |
3 | 法隆寺五重塔（含副阶） | 通面阔取副阶 |
4 | 法起寺三重塔；兴福寺三重塔 | |
4.5 | 当麻寺东塔（三重塔） | |
5 | 法隆寺五重塔；药师寺东塔（三重塔） | |
5.5 | 海龙王寺五重小塔 | |
6 | 醍醐寺五重塔 | |
7 | 室生寺五重塔 |
从上表可知，本文所分析的9座木塔，总高与首层通面阔之比包括3、4、4.5、5、5.5、6、7共计7种比例，其中高宽比5.5、6、7均为五重塔；高宽比为5的实例为法隆寺五重塔和药师寺东塔（三重塔）；高宽比4、4.5均为三重塔；高宽比3仅有法隆寺五重塔（总宽取副阶通面阔）1例。
傅熹年曾经将日本飞鸟、奈良时期木塔中包含的以材、分°为基本模数，以柱高或中间层面阔为扩大模数的手法与中国唐、宋、辽木构建筑加以比较，来探索中国南北朝、隋、唐建筑可能存在的设计规律。同样，通过上文分析我们可以推想：这批深受中国南北朝、隋、唐建筑影响的日本木塔，在构图比例上大量运用√2比例，且总高与首层通面阔皆有着清晰简洁的比例关系，也极可能是中国南北朝及隋、唐方形木塔中曾经运用的构图手法（北魏永宁寺平面及云冈石窟塔心柱立面皆是例证），与本文正文所列举的中国现存古塔有着一脉相承之关系。
作者简介
王南，清华大学建筑学院中国营造学社纪念馆常务副馆长，《建筑史学刊》副主编。
公众号图文有删节，完整阅读请参见《中国建筑史论汇刊》第十六、十七辑。版权所有，转载请注明出处。本文标准引文格式如下，欢迎参考引用：
王南. 规矩方圆 浮图万千——中国古代佛塔构图比例探析（上）[M]//王贵祥，贺从容，李菁. 中国建筑史论汇刊：第16辑. 北京：中国建筑工业出版社，2018.
王南. 规矩方圆 浮图万千——中国古代佛塔构图比例探析（下）[M]//王贵祥，贺从容，李菁. 中国建筑史论汇刊：第17辑. 北京：中国建筑工业出版社，2019.
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